概率论与数理统计第四章测试题

1第4章随机变量的数字特征一、选择题1．设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y的方差是(A)8(B)16(C)28(D)442．若随机变量X和Y的协方差,0CovXY，则以下结论正确的是（）(A)X与Y相互独立(B)D(X+Y)=DX+DY(C)D(X-Y)=DX-DY(D)D(XY)=DXDY3．设随机变量X和Y相互独立，且221122,,,XNYN，则2ZXY（）(A)221212,2N(B)221212,N(C)2212122,4N(D)2212122,4N4．设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y与η=X-Y不相关的充要条件为(A)EX=EY(B)E(X2)-(EX)2=E(Y2)-(EY)2(C)E(X2)=E(Y2)(D)E(X2)+(EX)2=E(Y2)+(EY)25．设X、Y是两个相互独立的随机变量且都服从于0,1N，则max,ZXY的数学期望EZ（）(A)12(B)0(C)1(D)126．设X、Y是相互独立且在0,上服从于均匀分布的随机变量，则min,EXY（）(A)2(B)(C)3(D)47．设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY是X和Y（）(A)不相关的充分条件，但不是必要条件(B)独立的充分条件，但不是必要条件(C)不相关的充分必要条件(D)独立的充分必要条件8．若离散型随机变量X的分布列为1121,2,2nnnPXn，则EX（）(A)2(B)0(C)ln2(D)不存在9．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于（A）－1（B）0（C）21（D）1210．设随机变量X和Y独立同分布，具有方差20，则随机变量U=X+Y和V=X-Y（A）独立(B)不独立（C）相关(D)不相关11．随机变量X的方差存在，且E(X)=，则对于任意常数C，必有。（A）E(X-C)2=E(X2)-C2（B）E(X-C)2=E(X-)2（C）E(X-C)2E(X-)2（D）E(X-C)2E(X-)212．设X~U(a,b),E(X)=3,D(X)=31,则P(1X3)=（）（A）0（B）41（C）31（D）21二、填空题1．设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，则2EX2．设一次试验成功的概率为p，进行了100次独立重复试验，当p时，成功的次数的标准差的值最大，其最大值为3．设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量100010XYXX，则Y的方差DY=4．4DX，9DY，0.5XY，则DXY，DXY5．设随机变量X服从于参数为的泊松分布，且已知121EXX，则6．设(X,Y)的概率分布为：YX-10100.070.180.1510.080.320.2则),cov(22YX＝。37．已知)3,2,1(,)(kkakXP,则E(X)=。8．X~N（，2），Y~N（，2），X与Y相互独立,则Cov(X+Y,X-Y)=________。9．随机变量X1,X2,X3相互独立,且都服从均匀分布U(0,2),令X=3X1-X2+2X3,则E(X)=___________，D(X)＝。10．设ρXY=0.9，Z=X-0.4，则Y与Z的相关系数为。11．设随机变量Xij独立同分布，EXij=2，则行列式nnnnnnXXXXXXXXXY212222111211的数学期望EY=。三、简答题1．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5。设X为同种遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望。2．已知随机变量,XY服从二维正态分布，且X与Y分别服从正态分布2(1,3)N与2(0,4)N，它们的相关系数12XY，令32XYZ，⑴求Z的数学期望EZ与方差DZ(2)求X与Z的相关系数XZ。3．已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求（1）乙箱中次品数X的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。4．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0,60]上均匀分布，求该游客等候时间Y的数学期望。5．一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对某种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布。商店没售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了供货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。6．两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动。试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率4密度f(t)、数学期望和方差。7．某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0p1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格品时即停机检修。设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求X的数学期望和方差。8．设随机变量X的概率密度为,,0;0,2cos21)(他其xxxf对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于3的次数，求2Y的数学期望。9．设随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差。10．假设二维随机变量(X,Y)在矩形G={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}上服从均匀分布。记,,1;,0YXYXU,2,1;2,0YXYXV。（1）求(U,V)的概率分布；（2）求U和V的相关系数r。11.假设随机变量U在区间[-2,2]上服从均匀分布，随机变量1,1;1,1UUX,1,1;1,1UUY试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D(X+Y)。12．设A，B是两个随机事件；随机变量,,1;,1不出现若出现若AAX,,1;,1不出现若出现若BBY试证明随机变量X和Y不相关的充要条件是A与B相互独立。5参考答案一、选择题1．D2．B3．C4．B5．C6．C7．C8．D9．A10．D11．D12．D二、填空题1．18.42．1/2，53．8/94．7，195．16．-0.027．18/118．09．4，14/310．0.911．0三、简答题1．解：X服从二项分布)52,3(B，其分布律为X0123P27/12554/12536/1258/125其分布函数为.3,1,32,125/117,21,125/81,10,125/27,0,0)(xxxxxxFX的数学期望为.56523EX2．解：⑴因221(1,3),(0,4),2XYXNYN,32XYZ,故有111323EZEXEY,1cov,3462XYXYDXDY，221111314()2cov(,)2(6)3329324964XYDZDDXXYDY(2)21131cov,cov(,)cov(,)(6)0,0323232XZXYXZXDXXY3．解：（1）由题意知，X服从超几何分布，故23633EX；（2）又全概率公式，可得416162633613233613233633CCCCCCCCp。64．解：有题意，.6055,560,5525,55,255,25,50,5)(XXXXXXXXXgY因此600)(601)()()(dxxgdxxfxgXEgEY67.11))65()55()25()5((6016055552525550dxxdxxdxxdxx。5．解：设Z表示商店每周所得的利润，则,),(500)(5001000,,1000),(XYYXXYXXYYYXgZ所以dxdyyxfyxgYXEgEZ),(),(),(67.141661001)(50010011000201010201020yydxdyyxdxdyy。6．解：以X和Y表示先后开动的记录仪无故障工作的时间，则T=X+Y，从而有,0,0,0,2525)()()(50)(55tttedxeedxxtfxftfttxtxYX由已知，251,51DYDXEYEX，从而有：252,52DYDXDTEYEXET。7．解：X服从几何分布，P(X=i)=qi-1p，i=1,2,…pqqpqpqppiqEXiiiiii1)1()()(1111；2221111112221221)())1((ppppppqpqiqqiippqiEXiiiiiiii；2221)(ppEXEXDX.8．解：设A表示X的观察值大于3，故212cos21)3()(3/dxxXPAP；由题意可知，Y~B(4,1/2)；故5)214(21214)(222EYDYEY。9．解：有独立正态分布的性质，X-Y~N(0,1)，先求722222||||20222dzezdzezYXEzz；再求101||2YXE；所以21221||2YXD。10．解：（1）41)()0,0(YXPVUP；0)1,0(VUP；41)2()0,1(YXYPVUP；21)1,1(VUP；（2）43EU,21EV，21EUV，可计算81),cov(EUEVEUVVU，1634143DU，41DV，最后得到33),cov(DYDXYX。11.解：（1）41)1()1,1(UPYXP；0)1,1(YXP；21)11()1,1(UPYXP；41)1()1,1(UPYXP；（2）41)2(YXP,21)0(YXP,41)2(YXP,所以E(X+Y)=0，D(X+Y)=2。12．证明：EX=P(A)-[1-P(A)]=2P(A)-1，EY=2P(B)-1，1)(2)(2)(4)()()(1)()()()()()()()()()(BPAPABPABPBPAPABPBPABPAPABPBAPBAPBAPABPXYE从而X和Y不相关的充要条件是0)(),cov(EXEYXYEYX，即1)(2)(2)()(4]1)(2][1)(2[1)(2)(2)(4BPAPBPAPBPAPBPAPABP，当且仅当P(AB)=P(A)P(B)，当且仅当A,B独立。