概率论与数理统计结业论文

概率•体会•创新——《概率论与数理统计》结业论文摘要：通过本学期概率论与数理统计这门课的学习，我基本掌握了基本的概率知识，这对于自己以后的发展和创新有着很大的帮助。本文将从自己的学习心得，概率论的历史、发展和主要内容，经典习题三个方面来阐述我对本门课的总结。关键词：概率论，数理统计，自我心得，生产发展，主要内容，经典习题一．学习概率论的自我心得：我在学习《概率论与数理统计》时通常的感觉是“课文看得懂，习题做不出”。要做出题目，至少要弄清概念，有些还要掌握一定的技巧。这句话说起来简单，但是真正的做起来就需要花费大量的力气。我在学习时，只注重公式、概念的记忆和套用，自己不对公式等进行推导。这就造成一个现象：虽然在平时的做题过程中，自我感觉还可以；尤其是做题时，看一眼题目看一眼答案，感觉自己已经掌握的不错了，但一上了考场，就考砸。这就是平时的学习过程中只知其一、不知其二，不注重对公式的理解和推导造成的。在看书的时候注意对公式的推导，这样才能深层次的理解公式，真正的灵活运用。做到知其一，也知其二。现在概率统计的考试考的是基础知识，主要涉及排列组合、导数、积分、极限这四部分。说这部分是基础，本身就说明这些知识不是概率统计研究的内容，只是在研究概率统计的时候不可缺少的一些工具。即然这样，在考试中就不会对这部分内容作过多的考察，也会尽量避免在这些方面丢分。有些人花大量的力气学习微积分，甚至学习概率统计之前，将微积分重现学一边，这是不可取的。对这部分内容，将教材上涉及到的知识选出来进行复习，理解就可以。万不能让基础知识成为概率统计的拦路虎。学习中要知道那是重点，那是难点。如何掌握做题技巧？俗话说“孰能生巧”，对于数学这门课，用另一个成语更贴切“见多识广”。对于我们而言，学习时间短，想利用“孰能生巧“不太现实，但是”见多识广“确实在短时间内可以做到。这就是说，在平时不能一味的多做题，关键是多做一些类型题，不要看量，更重要的是看多接触题目类型。同一个知识点，可以从多个角度进行考察。由于选择辅导书的问题，同类型的题目做了很多，但是题目类型却没有接触多少。在考试的时候感觉一落千丈。那么应该如何掌握题目类型呢？我想历年的期末真题是我们最好的选择。考试有技巧，学习无捷径。平时的学习要注重知识点的掌握，踏踏实实，这才是方法中的方法。二．概率论的历史、发展和主要内容1.概率论与数理统计的历史与发展概率论产生于十七世纪，本来是又保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了a(am)局，另一个人赢了b(bm)局的时候，赌博中止。问：赌本应该如何分法才合理？”后者曾在1642年发明了世界上第一台机械加法计算机。三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。概率论和数理统计是一门随机数学分支，它们是密切联系的同类学科。但是应该指出，概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包含的不同内容。概率论——是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。数理统计——是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。2.概率论与数理统计主要内容概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。对于任何事件的概率值一定介于0和1之间。有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。如果随机变量是连续的，都有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，它的分布曲线是有规律的，这就是正态分布。正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫数学期望，差异度也就是标准方差。数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相关分析等内容。抽样检验是要通过对子样的调查，来推断总体的情况。究竟抽样多少，这是十分重要的问题，因此，在抽样检查中就产生了“小样理论”，这是在子样很小的情况下，进行分析判断的理论。适线问题也叫曲线拟和。有些问题需要根据积累的经验数据来求出理论分布曲线，从而使整个问题得到了解。但根据什么原则求理论曲线？如何比较同一问题中求出的几种不同曲线？选配好曲线，有如何判断它们的误差？……就属于数理统计中的适线问题的讨论范围。假设检验是只在用数理统计方法检验产品的时候，先作出假设，在根据抽样的结果在一定可靠程度上对原假设做出判断。三．经典习题1．从0,1,2,,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A‘三个数字中不含0和5’，2A‘三个数字中不含0或5’，3A‘三个数字中含0但不含5’.解3813107()15CPAC.333998233310101014()15CCCPACCC，或182231014()1()115CPAPAC，2833107()30CPAC.2．一个教室里有4名一年级男生，6名一年级女生，6名二年级男生，若干名二年级女生，为要我们在随机地选择一名学生时，性别和年级是相互独立的，教室里的二年级女生应为多少名？解设还应有N名二年级女生，A‘任选一名学生为男生’，B‘任选一名学生为一年级’，则10()16PAN，10()16PBN，1044()161016PABNN，欲性别和年级相互独立，即()()()PABPAPB，41010161616NNN所以9N，即教室里的二年级女生应为9名。3．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布。解(0)PXP(第一个路口即为红灯)12,(1)PXP(第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯)111224，依此类推，得X的分布列为012311112488XP4．设(,)XY的概率密度为,0,(,)0,.yexyfxy其他求边缘密度和概率(1)PXY解0,0,0,0,()(,),0.,0;Xxyxxxfxfxydyexedyx00,0,0,0,()(,),0.,0;yYyyyyfyfxydxyeyedxy111122001(1)(,)()xyxxxxyPXYfxydxdyedydxeeedx11212ee.5．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟，25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0,60]上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望.解设候梯时间为T，则5,5,25,525,()55,2555605,55.XXXXTgXXXXX6001[()]()()()60ETEgXgxfxdxgxdx52555600525551(5)(25)(55)(65)60xdxxdxxdxxdx1[12.520045037.5]11.6760.6．设1234,,,XXXX是来自正态总体2(0,2)N的简单随机样本，221234(2)(34)XaXXbXX，求常数,ab，使得2~(2)X.解22121212212~(0,20),~(0,1),(2)~(1),2025XXXXNNXX22234343434134~(0,10),~(0,1),(34)~(1),10100XXXXNNXX所以当11,20100ab时2221234(2)(34)~(2)XaXXbXX7．设A和B两批导线是用不同工艺生产的，今随机地从每批导线中抽取5根测量电阻，算得22711.0710ASS，22625.310BSS，若A批导线的电阻服从212(,)N分布，B批导线的电阻服从222(,)N，求2122的置信度为0.90的置信区间.解2122的置信区间为22221212/2121/212//(1,1)(1,1)SSSSFnnFnn其中2726120.051.0710,5.310,0.10,(4,4)6.39.SSF0.950.051(4,4)0.1565(4,4)FF.所以2122的置信度0.90下的置信区间为1.07/531.07/53,(0.0032,0.1290)6.390.1565.8．验证式（9.24）的解,ab能使21(,)()niiiQabyabx达到最小值.证：,ab是函数21(,)()niiiQabyabx的驻点.而222222112,2,2nniiiiQQQAnBXCXaabb222114nniiiiACBnXX由柯西不等式知0，而0,0AC所以(,)ab是(,)Qab的极小点，而(,)Qab存在最小值，故,ab能使(,)Qab达到最小值.。概率论是一个全面、全过程、全员的理论，是一项不确定因素非常之多的工作，是依各方面应用的不同而各异的。小概率事件占据生活中的方方面面，虽然不是解决所有问题的万能钥匙，但根据应用问题的实践，确实是解决很多棘手实际问题的有益思路和指导思想，可以把复杂的问题简单化，有助于抓住问题的关键，具有很强的操作性。概率统计及其相关学科在实际中的应用越来越被人所认识和重视。因此，运用数字中的概率分析来研究实际应用也就理所当然了。