概率论中几种具有可加性的分布及其关系

目录摘要……………………………………………………………………………………………1关键词…………………………………………………………………………………………1Abstract………………………………………………………………………………………1Keywords……………………………………………………………………………………1引言………………………………………………………………………………11几种常见的具有可加性的分布…………………………………………………………11.1二项分布………………………………………………………………………………21.2泊松分布（Possion分布）……………………………………………………………31.3正态分布···…………………………………………………………………41.4伽玛分布……………………………………………………………………………61.5柯西分布………………………………………………………………………………71.6卡方分布………………………………………………………………………………72具有可加性的概率分布间的关系………………………………………………………82.1二项分布的泊松近似…………………………………………………………………82.2二项分布的正态近似…………………………………………………………………92.3正态分布与泊松分布间的关系………………………………………………………102.4正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系…………………113小结………………………………………………………………………………………12参考文献……………………………………………………………………………………12致谢…………………………………………………………………………………………13概率论中几种具有可加性的分布及其关系１概率论中几种具有可加性的分布及其关系摘要概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的内容.所谓分布的可加性指的是同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布.结合其特点，这里给出了概率论中几种具有可加性的分布：二项分布，泊松分布，正态分布，柯西分布，卡方分布以及伽玛分布.文章讨论了各类分布的性质及其可加性的证明，这里给出了证明分布可加性的两种方法，即利用卷积公式和随机变量的特征函数.除此之外，文章就可加性分布之间的各种关系，如二项分布的泊松近似，棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理等，进行了不同层次的讨论.关键词概率分布可加性相互独立特征函数SeveralKindsofProbabilityDstributionanditsRelationshipwithAdditiveAbstractProbabilityandmathematicalstatisticsintheprobabilitydistributionofadditivityisaveryimportantcontent.Thedistributionoftheso-calledadditivityreferstothedistributionofthesamekindofindependentrandomvariablesanddistributionarestillbelongtothiskindofdistribution.Combinedwithitscharacteristics,heregivenseveralhasadditivitydistributioninprobabilitytheory:thebinomialdistribution,poissondistributionandnormaldistributionandcauchydistribution,chi-squaredistributionandgammadistribution.Articlediscussesthenatureofallkindsofdistributionanditsproofofadditivity,additiveofproofdistributionarealsogiventwomethods,namelyusingconvolutionformulaandcharacteristicfunctionofarandomvariable.Inaddition,thispapertherelationshipsbetweentheadditivepropertydistribution,suchasthebinomialdistributionofpoissonapproximation,Dimo-Laplace'scentrallimittheorem,andsoon,hascarriedonthedifferentlevelsofdiscussion.KeyWordsprobabilitydistributionadditivitypropertymutualindependencecharacteristicfunction引言概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的学科，在概率论与数理统计中，有时候我们需要求一些随机变量的和的分布，在这些情形中，有一种求和类型比较特殊，即有限个相互独立且同分布的随机变量的和的分布类型不变，这一求和过程称为概率分布的“可加性”.概率分布中随机变量的可加性是一个相当重要的概念，本文给出了概率论中常见的六种具有可加性的分布，包括二项分布，泊松分布，正态分布，伽玛分布，柯西分布和卡方分布.文章最后讨论了几项分布之间的关系，如二项分布的泊松近似，正态近似等等.1几种常见的具有可加性的分布在讨论概率分布的可加性之前，我们先来看一下卷积公式和随机变量的特征函数,首先来看卷积公式[1]：①离散场合的卷积公式设离散型随机变量,彼此独立，且它们的分布列分别是nkakPk,1,0,)(和.,,1,0,)(nkbkPk则的概率分布列可表示２为.2,1,0,)()()(00kbaikPiPkPikkiiki②连续场合的卷积公式设连续型随机变量,彼此独立，且它们的密度函数分别是)(),(yfxf，则它们的和的密度函数如下.)()()(dxxzfxfffzf)2(其证明如下：的分布函数是dxdyyfxfzfzFzyx)()()()(dxxfdyyfxz)()(.)()(dxxfxzF其中)(xF为的分布函数，对上式两端进行求导，则可得到的密度函数：.)()()(dxxzfxfffzf即证.在概率分布可加性的证明中，除了卷积公式，我们常用的证明方法还有利用随机变量的特征函数.下面我们来讨论一下这几种具有可加性的分布及其可加性证明的过程中卷积公式和特征函数的应用.1.1二项分布1.1.1二项分布),(pnB的概念如果记为n次伯努利试验中成功（记为事件A）的次数，则的可能取值为0，1，2，……，n.记p为事件A发生的概率，则,)(pAp(pA),1p记为.q即.1pq因n次伯努利试验的基本结果可以记作ѡ=（w1,w2，…ѡn），wi或为A或为A,这样的w共有2n个，这2n个样本点w组成了样本空间Ω.下求的分布列，即求事件{k}的概率.若某个样本点ѡ=（w1,w2，…ѡn）∈{k}，意味着w1,w2，…ѡn中有k个A，kn个A，由独立性即可得:P().)1(knkpp而事件{=k}中这样的w共有nk个，所以的分布列为)(kP=nkpk（1-p）kn，.,1,0nk此分布即称为二项分布，记作),(~pnB.且我们易验证其和恒为.1.也就是概率论中几种具有可加性的分布及其关系３knknknkpp)1(0=npp)1(1.n=1时，二项分布),(pnB称为两点分布，有时也称之为10分布.二项分布的图像具有以下特点：①二项分布的图像形状取决于n和p的大小，随着p的增加，分布图高峰逐渐右移.②当5.0p时，图像是对称的.1.1.2二项分布的可加性定理1.1.1设),,(~),,(~pmBpnB而且,相互独立，记,则有).,(~pmnB证明因,所以易知可以取mn2,1,0等1mn个值.根据卷积公式)1(，事件k的概率可以表示为)()()(0ikPiPkPkiikmikmikinikinipppp)1()1(0.)1(0mikkinikmnkpp又因.0mnkmikkini所以.,1,0,)1()(mnkppkPkmnkmnk也就是说，).,(~pmnB即证！1.2泊松分布(Possion分布)与二项分布一样，泊松分布也是一种离散分布，许多随机现象，特别是社会现象与物理学中的一些随机现象都服从于泊松分布.泊松分布可作为描述大量试验中稀有事件出现次数的概率分布的数学模型.1.2.1泊松分布的概率分布列泊松分布的概率分布如下所示：2,1,0,!)(kekkPk…，其中大于0，记作)(~P.对于泊松分布而言，它的参数即是期望又是它的方差：eekeekkEkkkk110)!1(!)(.又因，ekkekkEkkkk1022)!1(!)(=ekkkk)!1(1)1(1４=11222)!1()!2(kkkkkeke=2故的方差为22))(()()(EEVar=221.2.2泊松分布的可加性定理1.2.1设随机变量)(~),(~2211PP，且21,相互独立，则).(~2121P证明此处,2,1,0,!)(,!)(212211kekkPekkPkk根据卷积公式)1(，有21)!(!)(20121eikeikPikkiiikikiikikke210)()!(!!!21.,1,0,!)()(2121kekk所以).(~)(2121P即证！同样我们可以利用特征函数对其进行证明，此处不再赘述.1.3正态分布1.3.1正态分布的定义[6]定义1.3对于已经给定的两个常数和0，定义函数222/)(,21)(xexp),(x)1(它含有两个参数和.显然的，)(,xp取正值.我们称密度函数为)(,xp的分布为正态分布，记作),(2N，它的分布函数记为dtexFxt222)(,21)(),(x正态分布的密度函数的图像是一条钟形曲线，中间高两边低，而且关于x对称，在此处)(,xp取最大值.21我们称为该正态分布的中心，在x附近取值的可能性比较大，在x处有拐点.若将固定，改变的取值，则越大，曲线峰顶越低，图像较为平坦；越小，曲线封顶越高，图像较为陡峭.因此正态密度函数的尺度由确定，故称为尺度参数.同样的，将固定，而去改变的值，会发现图像沿x轴平移而并不改变形状，也就说明该函数的位置由决定，故称其为位置参数.当1,0时的正态分布称为标准正态分布，记作)1,0(N.它的密度函数记为)(u，分布函数记为)(u.则有),(,21)(2/2ueuu