概率论复习资料第一章(1,2,3,4).

概率论与数理统计主讲黄维忠序言在我们所生活的世界上，充满了不确定性——随机现象下面的现象哪些是随机现象？A.太阳从东方升起；B.明天的最高温度；C.上抛物体一定下落；D.新生婴儿的体重.随机现象：带有随机性、偶然性的现象.随机现象是不是没有规律可言?否！在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性.例如:一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等.又如:在一个容器内有许多气体分子，每个气体分子的运动存在着不定性，无法预言它在指定时刻的动量和方向.但大量分子的平均活动却呈现出某种稳定性，如在一定的温度下，气体对器壁的压力是稳定的，呈现“无序中的规律”.天有不测风云和天气可以预报有矛盾吗?无!“天有不测风云”指的是随机现象一次实现的偶然性.“天气可以预报”指的是研究者从大量的气象资料来探索这些偶然现象的规律性.从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶然之中存在着必然的规律.随机现象的这种必然性表现在大量重复试验或观察中随机现象所呈现出的固有规律性，称之为随机现象的统计规律性.•概率统计是研究随机现象统计规律性的数学学科。理论严谨,应用广泛,发展迅速.第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科。•概率论是一门研究客观世界随机现象数量规律的数学分支学科。对客观世界中随机现象的分析产生了概率论；使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速发展则在17世纪微积分学说建立以后。•数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支学科。概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用。但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系。概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中.例如:3.寻求最佳生产方案要进行试验设计和数据处理；2.产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均需要用到假设检验；1.气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与概率论紧密相关；4.电子系统的设计离不开可靠性估计;5.探讨太阳黑子的规律时，时间序列分析方法非常有用;6.研究化学反应的时变率，要以马尔可夫过程来描述;7.在生物学中研究群体的增长问题时提出了生灭型随机模型，传染病流行问题要用到多变量非线性生灭过程；8.许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到的识就是排队论。目前，概率统计理论进入其他科学领域的趋势还在不断发展.在社会科学领域，尤其是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，都大量采用概率统计方法。目前,不仅高等学校各专业都开设了这门课程,而且被国家教委定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好这门重要课程。“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”——拉普拉斯第一章概率论的基本概念（随机事件及其概率）§1.§2随机事件对某一事物特征进行观察,统称试验。H例如,掷硬币试验掷一枚硬币，观察出正还是反.T掷骰子试验掷一颗骰子，观察出现的点数寿命试验测试在同一工艺条件下生产出的灯泡的寿命.试验结果不止一个，且能事先明确所有的结果;特点：可在相同的条件下重复进行;试验前不能预知出现哪种结果。具有以上特点的试验称为随机试验,用E表示。样本空间——随机试验E所有可能的结果组成的集合称为样本空间，记为S。样本空间的元素，即E的直接结果，称为样本点(或基本事件)，常记为，S={}。例1随机试验及相应的样本空间E1:投一枚硬币3次，观察正面出现的次数有限样本空间E2:观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数E3:观察某灯泡的寿命随机事件——样本空间的子集,常记为A,B,…它是满足某些条件的样本点所组成的集合。随机事件发生——组成随机事件的一个样本点出现。如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.事件基本事件（相对于观察目的不可再分解的事件）复合事件（两个或一些基本事件并在一起，就构成一个复合事件）事件B={掷出奇数点}事件Ai={掷出i点}i=1,2,3,4,5,6必然事件——全体样本点组成的事件,记为S。每次试验必定发生的事件。不可能事件——不包含任何样本点的事件。每次试验必定不发生的事件，记为。基本事件——仅由一个样本点所组成的子集。每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件。•事件的关系和运算Venn图AS随机事件的关系和运算类似于集合的关系和运算1.事件的包含——A包含于B事件A发生必导致事件B发生ASB2.事件的相等事件A发生必导致事件B发生，同时，事件B发生必导致事件A发生事件的关系3.事件的并(和)或——A与B的和事件事件A与事件B至少有一个发生的和事件——的和事件——SBAAB4.事件的交(积)事件A与事件B同时发生——A与B的积事件的积事件——的积事件——BABAABAB或5.事件的差——A与B的差事件事件A发生，但事件B不发生SBABABAB{}xxAxB且6.事件的互斥(互不相容)——A与B互不相容（互斥）A、B不可能同时发生两两互斥两两互斥SAB7.事件的对立——A与B互相对立（互逆）每次试验A、B中有且只有一个发生称B为A的对立事件(or逆事件)，记为注意：“A与B互相对立”与“A与B互不相容”是不同的概念AAB运算律事件运算集合运算对应吸收律重余律幂等律交换律结合律分配律差化积运算顺序：反演律（对偶律）逆交并差，括号优先。例2利用事件关系和运算表达多个事件的关系:A,B,C都不发生——A,B,C不都发生——A发生，而B不发生——例3生产加工三个零件，分别用表示第i个零件为正品。用及事件的运算表示下列事件：（1）没有一个零件是次品，全是正品。(B1)（2）只有第一个是次品。(B2)（3）恰有一个是次品。(B3)（4）至少有一个是次品。(B4)解：（1）?AB12(2)(2)?AAAB3213(3)(3)(4)123AAA某人向目标射击，以A表示事件“命中目标”，定义事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A).§1.3频率与概率()AnnfAnP（A）=？频率的稳定性实验者nnHfn(H)德.摩根（De.Morgan）204810610.5181蒲丰(Buffon）404020480.5069K.皮尔逊（K.Pearson）1200060190.5016K.皮尔逊（K.Pearson）24000120120.5005观察历史上有多位有名的科学家的“抛硬币”试验结果，有什么规律?在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小.这个性质叫做频率的稳定性.频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小.尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非常接近的.因此，概率是可以通过频率来“测量”的,频率是概率的一个近似.若他射击n发，中靶m发，当n很大时，可用频率m/n作为他中靶概率的估计.若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录.概率的统计定义为了研究事件A的概率，在相同的条件下，重复进行n次试验，若A出现（发生）了k次，则称为事件A的频率。nkf(A)n理论和试验都表明，当n充分大时，频率具有稳定性（稳定于某个数值），因此定义：nnnkP(A)limf(A)limn概率的公理化定义1.非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥02.规范性：对于必然事件S，有P(S)=13.可列可加性：)A(P)A(P)AA(P2121设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A),称为事件A的概率，如果集合函数P(•)满足以下条件：设A1,A2,…对于ij,AiAj=,i,j=1,2,…,有:概率的性质i.P()=0ii.有限可加性若A1,A2,…An,是两两互不相容的事件，则有：)A(P)A(P)A(P)AAA(Pn21n21iii.设A,B是两个事件，若AB,则有：;)A(P)B(P)AB(PP(B)P(A).BAS()(())PBPABA证：)()(ABPAP由可加性移项即得。注意：若去掉条件AB,则()()()PBAPBPABiv.对于任一事件A，有：P(A)1v.（逆事件的概率）对于任一事件A，有：)A(P1)A(PS()(())PABPABAB证：()ABABABAB()()()PABPAPBABABB又3由性质可得证。vi.（加法公式）对于任意两事件A,B有：)AB(P)B(P)A(P)BA(P对于任意n个事件A1,A2,…An,有：nniiijijki11ijn1ijkni1n112nP(A)P(A)P(AA)P(AAA)(1)P(AAA)……一般地，请大家自己写出任意三个事件的加法公式。§1.4等可能概型（古典概型）——最早研究的概率模型解:设A:得奇数.中基本事件的总数包含的基本事件数SA)A(P例掷一枚骰子,求得奇数的概率.显然,P(A)=3/6=1/2.事件A1）随机试验的所有可能结果为有限个，每次试验发生且仅发生其中一个结果；中基本事件的总数包含的基本事件数SA)A(P其特征为：2）每一个结果发生的可能性相同。对古典概型,某随机事件A发生的概率:乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法复习：排列与组合的基本概念加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，n共有nk种排列方式.无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有Ank=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.当k＝n时，共有n！种排列方式，称为全排列.组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有种取法.!!!()!kknnnAnCkkknk古典概型问题1、抽球问题例1设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A-----取到一红一白25()NSC1132()NACC1132253()5CCPAC答:取到一红一白的概率为3/5解法一:解法二25()54NSA()3223NA32233()545PA可见:随机抽球问题可以用组合法解,也可以用排列法解.关键是:计算事件概率时保证分子,分母在同一个样本空间下讨论.例2设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.解：令B={恰有k件次品}knkMNMnNCCP(B)C这是一种无放回抽样.次品正品M件次品N-M件正品在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。例3将m个球等可能地分到M个盒中，每一个盒子的容量不限。考察以下各种分法的概率：1）A：某指定的m个盒子中各有一球；2）B：恰有m个盒子中各有一球。3）C:某指定的盒子中恰有k球(km)2、分球入盒问题解:所有可能的分法有：Mm种m(m1)(m2)1m!种mMm!p(A)所以A成立的分法有:1）A：某指定的m个