概率论我遇到的问题

第一章2019/12/242如图所示的电路中，电路开关a,b,c闭合，试用A,B,C表示“指示灯亮”和“指示灯不亮”.abc解：当“开关a闭合”，且“开关b,c至少有一个闭合”时，“指示灯亮”，即D发生.故)(CBAD当“开关a未闭合”，与“开关b,c都未闭合”至少有一个事件发生时，“指示灯不亮”，即D发生.故)()(_____________CBACBAD或)(CBAD例:设事件A,B,C分别表示且事件D表示“指示灯亮”，2019/12/243()若),()(BPAP.BA注：性质的逆命题不一定成立的.若则),(1)(BPAP.BA若或则或0)(AP,1)(APA.A则思考2019/12/2442.0)(,6.0)(,5.0)(ABPBPAP)()1(BAP解:(1)由,BAABB)()()(BAPABPBPABBA由此得)(BAP例.求已知与且互不相容,则)()(ABPBP4.02.06.0BA2019/12/2452.在药学系学生中任选一名学生，设事件A=“选出的学生是男生”；B=“选出的学生是二年级学生”；C=“选出的学生是运动员”.(1)在什么条件下，ABC=C成立？,CABCABCCCABC：的充要条件是，ABABC又ABABCC所以ABC=C的充要条件是ABC即药学系学生中的运动员都是二年级的男生.2019/12/246A.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”B.“甲乙两种产品均畅销”C.“甲种产品滞销”D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”(1)以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A为（D）(2)若A,B为两随机事件,且,BA则下列正确的是（A）A.P(A∪B)=P(A)B.P(AB)=P(A)C.P(B)=1-P(A)D.P(B-A)=P(B)-P(A)2019/12/247A.A与B互斥B.AB是不可能事件C.AB未必是不可能事件D.P(A)=0或P(B)=0(3)设A,B两事件满足P(AB)=0，则（C）2019/12/2484.,)()(qpBPAP)()(APBAP,1)(1PAP设A,B不互不相容,P(A)=p,P(B)=q,求(),(),(),(),().PABPABPABPABPAB解:)(BAP,0)()(ΦPABP,)()(qBPBAP)(BAP)(BAP.1)(1qpBAP2019/12/249例.甲、乙两家工厂生产某型号车床，其中次品率分别为20%,5%。已知每月甲厂生产的数量是乙厂的两倍，现从一个月的产品中任意抽检一件，求该件产品为合格的概率？则()PA23解：设A表示产品合格，B表示产品来自甲厂()PB()PAB()()PBPAB451319205160例:GRS是家高科技公司,有十名行政主管人员。其中一人正在向GRS的竞争对手泄漏信息。你作为（公司）保安部门的首脑，随机选择一名行政主管并要求他接受彻底的调查。根据过往的经验估计,在说谎的人中有5%通过检查,在诚实的人中有1%未通过检查.假如被选中的主管通过了检查，这名主管就是泄密者的概率是多少？令A--被选中的主管是泄密者;B--被选中的主管通过了检查.解已知由全概率公式由Bayes公式先验概率P(A)=0.1后验概率P(A|B)=0.0056注意2019/12/2412肝癌普查问题,94.0)|(ABP;04.0)|(ABP,0004.0)(AP甲胎蛋白免疫检测法(简称AFP法)被普遍应用于肝癌的普查和诊断。设A={肝癌患者},B={AFP检验反应为阳性};由过去的资料已知：假阳性率又已知在人群中肝癌的发病率为今有一人AFP检测为阳性,现问该人患肝癌的可能性有多大？真阳性率解：)|()()|()()(ABPAPABPAPBP由全概率公式知04036.004.09996.094.00004.0)|(BAP)|()()|()()|()(ABPAPABPAPABPAP04036.094.00004.0%93.02019/12/24132019/12/2413对任意两个随机事件A与B,则称事件A与事件B相互独立(简称为独立).P()P()P()ABAB若两事件的独立定义.容易证明，若P(A)0,P(B)0,则A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立的.注：独立与互不相容的关系n个事件相互独立需要证多少个等式？nnnnCCC3201)11(nnnCC12nn若n个事件A1,A2,…,An(n≥2)相互独立，则将A1,A2,…,An中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立.2019/12/24152019/12/2415甲获胜至少需比赛3局，且最后一局是甲胜，而前面甲需胜二局。由独立性得甲获胜的概率为).1(2221pppp)12(1-33121562223212ppppppppp）（）（而232432332)1()1(ppCppCpp甲乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的概率为p，p≥1/2.问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利.设各局胜负相互独立.解:采用三局二胜制，甲获胜的情况：甲甲，乙甲甲，甲乙甲（互不相容）由独立性得甲获胜的概率为采用五局三胜制，2112211221pppppp时，；时，2019/12/24164.某种动物,BABAB解：设A表示“这种动物能活20岁以上”;活到25岁以上的概率为0.4，如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？B表示“这种动物能活25岁以上”;则有故5.08.04.0)()()()()|(APBPAPABPABP由出生算起活20岁以上的概率为0.8，2019/12/2417当n充分大,p很小(p0.1),二项分布B(n,p)的分布律近似等于泊松分布),,(~pnBX设的分布律:,2,1,0,!limkekqpCkknkknn=0,np设（数）常泊松分布与二项分布的关系()泊松定理：若当n→∞时，则有注：即np比较适中时，npekqpCkknkkn其中,!第二章2019/12/24194.(),XP1m]()mPXm当不数时，时.是整取[最大当m为何值时，概率设随机变量P(X=m)取得最大值？()!mPxmem解：取得最大值，则它与前一项,，后一项的比值都≥1，即()1(-1)()1(1)PxmPxmPxmPxm1()mPXm当数时，时.是整取或最大2019/12/2420解:(2)因为,0)(*xXP且1)()()(***xXPxXPxXP有21)()(**xXPxXP即3*)(x.794.0213*x)(*xXP*)(xdxxf*02030xdxxdx211.,0;10,)(2其它xAxxf).()(**xXPxXP求(2)中值x*：xf(x)o例2.设连续随机变量X的概率密度为2019/12/2421例4.设某种电器系统的电压X（以伏计）是一随机变量，它的概率密度为0,00,)1(1)(2xxxxf时，当0xdttfx)()(Fx求：X的分布函数，P(X3),P(-2X5),P(X1)解：0dtx0时，当0xdttfx)()(Fxdtdtx002)1(10txxxttx1111|11)(1)1(1002tdx，43)3()3()3(FXPXP65)2()5()52(FFXP21)1(1)1(1)1(FXPXP2019/12/2422练习.设随机变量X的概率密度为.2,0;20,41;0,)(21xxxexfx求随机变量X的分布函数.解：当-∞x0时,;21xe当0≤x2时,;4121x当2≤x+∞时,.1)(xFxtdte21)(xF)(xF021dtetdtx041x)(xF2019/12/2423设连续随机变量X的分布函数为.0,;0,0)(2xBeAxxFx解：(1)由分布函数的性质知1)(lim)(2xxBeAF即1A求:(1)A,B的值;(2)P(-1≤X≤1);(3)X概率密度f(x).例5.2019/12/24240lim()(0)xFxFBA0即.1,1BA所以X的分布函数为.0,1;0,0)(2xexxFx.101)1()1()11()2(22eeFFXP(3)X的概率密度为.0,2;0,0)()(2xexxFxfx2019/12/242524420xx(0)P2(1616320)P2(20)P(1)(2)PP(25)P35有实根的概率.在[0,5]中任取一数ξ,求方程解:ξ是[0,5]的均匀分布随机变量,所求概率为2019/12/2426例9.设打一次电话所用的时间（单位：分钟）是以1=.10为参数的指数分布随机变量如果某人刚好在1020你前面走进公用电话间，求你需要等待分钟到.分钟之间的概率1(),10Xe解：据题意，其密度函数为1101,0()100,0.xexfxx(1020)PX1201010110xedx12010101()10xedx1201010xe12ee0.23252019/12/2427备用题1.判断正误：(1)概率函数与密度函数是同一个概念。（×）(2)若X的概率密度为()cos,[0,],2fxxx0(0)cos.PXtdt则（×）分析(1)概率函数是离散随机变量中的概念,密度函数是连续随机变量的概念,不是同一概念.2019/12/2428(2)显然X是连续随机变量,根据密度函数的性质222000()cossin|1fxdxxdxxcos,[0,],()20,xxfx其他X的密度函数为22002(0)cos0cos1PXxdxdxxdx于是因此命题有误.2019/12/2429二、选择题1.设离散随机变量X的概率分布为0,,2,1,0,!)(kkckfk则c的值为（）..;Ae.1;Be.;Ce.1.De2.设在[a,b]上,随机变量X的概率密度为f(x)=sinx,而在[a,b]外，f(x)=0,则区间[a,b]等于：()..[0,];2A.[0,];B.[,0];2C3.[0,].2D2019/12/2430(2)根据连续随机变量X的概率密度的2个性质,分析,1sinbaxdx(1)根据离散随机变量X的概率分布性质.ecnkkkc0!1!0cekcnkk选C.由非负性在[a,b]上f(x)=sinx≥0,可排除C，D.由规范性可排除B，故选A2019/12/2431典型题Ⅲ离散型随机变量和连续型随机变量综合运用问题3.某种型号的电灯泡使用时间(单位：小时)为一随机变量X，其概率密度为.0,0;0,50001)(5000xxexfx求3个这种型号的灯泡使用了1000小时后至少有2个仍可继续使用的概率.2019/12/2432解：每个灯泡的使用寿命超过1000小时的概率为82.050001)1000(2.010005000edxeXPx)3()2()2(YPYPYP设Y表示3个灯泡中使用寿命超过1000小时的个数,则