概率论第一章1-2.

12{}{}{}nPePePe1{},{}互不相容nkkkSee121{}{}{}{},nPSPePePe§4古典概型检验：古典概型若随机试验E满足：①样本空间S只含有有限个元素:S={e1,…,en}②试验中，每个基本事件发生是等可能的.1{},1,2,,.iPeinn,若事件包含个基本事件即Ak12kiiiAeee则有12kiiiPAPePePekn包含的基本事件数中的基本事件总数AS基本计数原理1.加法原理设完成一件事有m种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法,……；第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n1+n2+…+nm种方法.例如：从北京到上海可以坐火车也可以坐飞机，如果每日火车有3个班北京上海飞机有2个班次则此人有3+2=5种方法从北京到上海。则完成这件事共有种不同的方法.mnnn212.乘法原理设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法,…；第m个步骤有nm种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，例如:有一位女士有二件上衣和三条裙子则该女士可以有几种打扮方式。红白兰绿黑2×3=6种打扮3有重复排列从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，共有nk种排列方式.nnnn12k4无重复排列从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有排列方式:nn-1n-2n-k+112kk=n时称全排列n个不同元素中任取k个元素的排列数!(1)(2)(1)()!kknnnAPnnnnknk(1)(2)21!nnnnAPnnnn5组合：从n个不同元素中任取k个元素并成一组（不考虑其间顺序）称为一个组合，此种组合总数为：排列与组合关系式：!!()!!kknnPnCknkk!!kkknnnkknnAPCkPCk0011(1)2nknknnnnnnnCCCknCCC6分组：n个不同元素分为k组，各组元素数目分别为r1,r2,…,rk的分法总数为r1个元素r2个元素rk个元素…n个元素因为1212!,!!!kknrrrnrrr12112!!!!kkrrrnnrrknCCCrrr例1一口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方式：(a)放回抽样第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。(b)不放回抽样第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。分别就上面两种方式求：1）取到的两只都是白球的概率；2）取到的两只球颜色相同的概率；3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。取球问题•说明：取球问题中，球，产品，人等一般都认为是可辨的。解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。设A=“取到的两只都是白球”，B=“取到的两只球颜色相同”，C=“取到的两只球中至少有一只是白球”。(a)有放回抽样:样本空间中样本点个数n=6×6=36（是可重复排列）2244()0.44469PA222425()0.55669PB2228()1()10.88969PCPC222442()()0.66766（）恰个白PCPAP242244()69应恰一次白＝P(b)无放回抽样:法一(排列）：样本空间S中样本点的个数是无重复排列266530nP2426432()655PPAP222627()515PPBP22261141111515（）（）PPCPCP242241456515如果：（）（）（恰个白）PCPAP(b)无放回抽取:（所求事件中没有顺序的要求）法二(组合）：样本空间S中样本点的个数是2615nC2426432()2155CPAC222627()515CPBC22261141111515（）（）CPCPCC2241451515如果：（）（）（恰个白）PCPAP例2一口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方式：(a)放回抽样第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。(b)不放回抽样第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。分别就上面两种方式求：第一次取红球，第二次取白球的概率D={第一次取红球，第二次取白球}解:样本空间中样本点个数n=6×6=36（是可重复排列）(a)有放回抽样:D={第一次取红球，第二次取白球}(b)无放回抽样:(排列）：样本空间S中样本点的个数是无重复排列2242()69PD266530nP244()3015PD•注：试验不同样本空间不同，A中所含样本点数不同。例3设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，问其中恰有k(kD)件次品的概率是多少?（不放回抽样和放回抽样两种方式)又在D件次品中取k件，所有可能的取法有在N-D件正品中取n-k件,所有可能的取法有解：在N件产品中抽取n件，取法共有不放回抽样1）由乘法原理知：在N件产品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有种，nNC种，kDC种，nkNDC种，knkDNDCC于是所求的概率为：此式即为超几何分布的概率公式。2）有放回抽样从N件产品中有放回地抽取n件产品进行排列，可能的排列数为个，(样本总数）。而在N件产品中取n件，其中恰有k件次品的排列数共有于是所求的概率为：此式即为二项分布的概率公式。knkDNDnNCCpCnN()()(1)kknkkknknnnCDNDDDPCNNN()kknknCDND例4袋中有a只白球和b只红球。现在把球一只只随机的取出来不放回，求第k次取出的一只球是白球的概率解法1：E：把a只白球和b只红球都编上不同的号码，把取出的球依次放在a+b个位置上。（如图）1…k…a+bS中基本事件总数:（a+b）！A包含的基本事件个数，此结果与k无关，这与日常生活的经验是一致的。(1)kab(1)!()!aabaPabab(1)!aab解法2：把a只白球和b只红球编上不同的号码，我们只考虑前k只球。即把取出的前k只球依次放在k个位置上，如图…kS中基本事件总数:A包含的基本事件个数:kabP11kabaP11kabkabaPaPPab3、试验E是从n件产品中任取m件，可视为一次从中取m件，可用组合计数。也可看作每次取一件，取后不放回连取m次。可用排列记数，要由所求问题而定。小结1、试验E是无放回抽取，当事件A无次序要求可用组合，也可用排列计数，例1(b)当A有次序要求时，必须要用排列计数。（例2）2、试验E是有放回抽取，可重复排列问题，例1，2，34、古典概率，其分子与分母的计数方法要一致。例1将m只球（可分辨）随机的放入N(Nm)个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。解：将m只球放入N个盒子中去,共有而每个盒子中至多放一只球,共有分球入盒问题,种放法nNNNN(1)[(1)],种放法mNNNNmP(1)[(1)].故mNmmPNNNnpNN例2、将n只球随机地放入N（Nn）个盒子中去（设盒子的容量不限），试求下列事件的概率。A={某指定的一个盒子中没有球}B={某指定的n个盒子中各有一个球}C={恰有n个盒子中各有一个球}D={某指定的一个盒子中恰有m个球}(m≤n)解把n个球随机地分配到N个盒子中去(n≤N),基本事件总数为:事件A：指定的盒子中不能放球，因此，n个球中的每一个球可以并且只可以放入其余的N-1个盒子中。总共有种放法。因此nN)1(,种放法nNNNN(1)()nnNPAN事件B：指定的n个盒子中，每个盒子中各放一球，共有n!种放法，因此事件C：恰有n个盒子，其中各有一球，即N个盒子中任选出n个，选取的种数为在这n个盒子中各分配一个球，n个盒中各有1球(同上)，n!种放法；事件C的样本点总数为事件D：指定的一个盒子中，恰好有m个球，这m个球可从n个球中任意选取，共有Cnm种选法，而其余n-m个球可以任意分配到其余的N-1个盒子中去，共有(N-1)n-m种，所以事件D所包含的样本点总数为Cnm·(N-1)n-m!()nnPBN!()()nnNNnnCnPPCNN(1)11()(1)mnmmnmmnnnCNPDCNNNnNC!nNCn分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以归结为分球入盒问题，只是须分清问题中的“球”与“盒”，不可弄错。(1)生日问题：n个人的生日的可能情况（每个人生日是365天之一），相当于n个球放入N=365个盒子中的可能情况(设一年365天)；(2)旅客下车问题(电梯问题)：一列火车中有n名旅客，它在N个站上都停车，旅客下车的各种可能场合，相当于n个球分到N个盒子：旅客：“球”，站：“盒子”；(3)住房分配问题：n个人被分配到N个房间中；(4)印刷错误问题：n个印刷错误可能出现在一本具有N页书的任何一页，错误球，页盒子。（5）有n封信随机的投放在N个信筒中（筒内信数不限）；设每个人在一年(按365天计)内每天出生的可能性都相同,相当于n个球放入N=365个盒子中,则他们生日各不相同的概率（恰有n个盒子中各有一个球）为于是,n个人中至少有两人生日相同的概率为例3(生日问题):某人群有n个人，他们中至少有两人生日相同的概率有多大？!()()nnNNnnCnPPCNN1nNnPN人数至少有两人同生日的概率200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994例4、将n只球（可分辨）随机地放入N（Nn）个盒子中去（设盒子至多容纳一个球），试求下列事件的概率。B={某指定的n个盒子中各有一个球}C={恰有n个盒子中各有一个球}解把n个球随机地分配到N个盒子中去(n≤N),基本事件总数为:事件B：指定的n个盒子中，每个盒子中各放一球，共有n!种放法，因此事件C：恰有n个盒子，其中各有一球，即N个盒子中任选出n个，选取的种数为在这n个盒子中各分配一个球，n个盒中各有1球(同上)，n!种放法；事件C的样本点总数为,)]1([)1(种放法nNPnNNN!()nNnPBPnNC!nNCn()1PC例1将15名新生随机地平均分配到3个班中去，这15名新生中有3名是优秀生。问：(1)每个班各分配到一名优秀生的概率是多少？(2)3名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？解：15名新生平均分配到3个班级中去的分法总数为：,!5!5!5!15!512345!5678910!51112131415分组问题55515105CCC(1){每个班各分配到一名优秀生}=A：将3名优秀生分配到3个班级，使每个班级都有一名优秀生的分法共有3!种。其余12名新生平均分配到3个班级中的分法共有每个班各分配到一名优秀生的分法总数为：于是所求的概率为：444128412!/(4!4!4!)种，CCC3![12!/(4!4!4!)]3!12!15!3!12!4!4!4!25()/0.2747.4!4!4!5!5!5!15!5!5!5!91pA三名优秀生分配在同一班级内其余12名新生，一个班级分2名，另外两班各分5名(2)3名优秀生分配到同一个班级的概率为：212!15!312!5!63/0.0659.2!5!5!5!5!5!2!15!91p25512105CCC例:某公司生产的15件产品中,有12件是正品,3件是次品。现将它们随机地分装在3个箱中,每箱装