概率论第一章第四节

§1.4古典概型(ClassicalProbability)基本计数原理这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的1.加法原理设完成一件事有m种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法,…；第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n1+n2+…+nm种方法.例如，某人要从甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3+2种方法回答是基本计数原理则完成这件事共有种不同的方法.mnnn212.乘法原理设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法,…；第m个步骤有nm种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有种打扮23加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础.三、排列、组合的几个简单公式排列和组合的区别：顺序不同是不同的排列3把不同的钥匙的6种排列而组合不管顺序从3个元素取出2个的排列总数有6种从3个元素取出2个的组合总数有3种623P323C1、排列:从n个不同元素取k个（1kn)的不同排列总数为：k=n时称全排列(1)(2)21!nnnPPnnnn排列、组合的几个简单公式!(1)(2)(1)()!knnPnnnnknk(1)(2)21!nnAnnnn或ABDC例如：n=4,k=3第1次选取第2次选取第3次选取BDCBCDBDC……2423434P2412344P从n个不同元素取k个（允许重复）（1kn)的不同排列总数为：knnnn例如：从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张3241n=4,k=3123第1张4123第2张4123第3张4共有4.4.4=43种可能取法!)!(!!kknnkPCknkn2、组合:从n个不同元素取k个（1kn)的不同组合总数为：knC常记作kn，称为组合系数。!kCPknkn组合系数又常称为二项式系数，因为它出现在下面的二项式展开的公式中：kn3、组合系数与二项式展开的关系knknknbaknba0)(4、n个不同元素分为k组，各组元素数目分别为r1,r2,…,rk的分法总数为nrrrrrrnkk2121,!!!!r1个元素r2个元素rk个元素…n个元素kkrrrrnrnCCC211!!!!21krrrn因为5、若n个元素中有n1个带足标“1”，n2个带足标“2”，……，nk个带足标“k”，且，从这n个元素中取出r个，使得带足标“i”的元素有ri个，而这时不同取法的总数为rrrrk2111rn22rnkkrn……一、古典概型（等可能概型）(Classicalprobability)定义1若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同.称这种试验为古典概型。我们用i表示取到i号球，i=1,2,…,10.称这样一类随机试验为古典概型.34791086152且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同.S={1,2,…,10},则该试验的样本空间如i=2这样就把求概率问题转化为计数问题.定义2设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为：称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法.A包含的样本点数P(A)＝k/n＝S中的样本点总数排列组合是计算古典概率的重要工具.解：设所求事件为A.310C基本事件总数为111415ACCC所含基本事件数为111415310PACCCC()故16例1从0到9这十个数字中任取三个，问大小在中间的号码恰为5的概率是多少？解：设A表示指定的3人排在一起。373799PAPPP()则379!!!112例2有9个人排成一排，求指定的3人排在一起的概率。例3.从1，2，…，10共10个数中任取一数，设每个数以1/10的概率被取中，取后放回，先后取出7个数，求系列事件的概率：（1）A1={7个数全部不相同}（2）A2={不含10和1}（3）A3={10恰好出现两次}（4）A4={10至少出现两次}（1）A1={7个数全部不相同}71017()10APA（2）A2={不含10和1}7278()10PA（3）A3={10恰好出现两次}（4）A4={10至少出现两次}257379()10CPA2574710()10CPA16774799()110CPA×例将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生。问(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3名优秀生分配在同一班级的概率是多少?解15名新生平均分配到三个班级中的分法总数为每一种分配法为一基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同。!5!5!5!1555510515问(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(1)将3名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名优秀生的分法共3!种。对于这每一种分法，其余12名新生平均分配到3个班级中的分法共有12!／(4!4!4!)种。因此，每一班级各分配到一名优秀生的分法共有(3!×12!)／(4!4!4!)种。于是所求概率为.9125!5!5!5!15!4!4!4!12!31p(2)将3名优秀生分配在同一班级的分法共有3种。对于这每一种分法，其余12名新生的分法(一个班级2名，另两个班级各5名)有12!／(2!5!5!)种。因此3名优秀生分配在同一班级的分法共有(3×12!)／(2!5!5!)种，于是，所求概率为.916!5!5!5!15!5!5!2!1232p例设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.这是一种无放回抽样.解：令B={恰有k件次品}P(B)=？nNknMNkMBP)(次品正品……M件次品N-M件正品例设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.有放回抽样：解：令B={恰有k件次品}P(B)=？knnkknNMNMCBP)()(次品正品……M件次品N-M件正品例6设有5个人，每个人以同等机会被分配在7个房间中，求恰好有5个房间中各有一个人的概率。解：设A表示恰有5个房间中各有一个人。每人进入各房间等可能基本事件总数为75个。575人进入的5个房间有种选择，选定房间后5个人还有5!种排列C5755PA7C!()故3602401015.若P(A)0.01,则称A为小概率事件.小概率事件一次试验中小概率事件一般是不会发生的.若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件.（怀疑假设的正确性）小概率原理————(即实际推断原理)例区长办公室某一周内曾接待过9次来访,这些来访都是周三或周日进行的,是否可以断定接待时间是有规定的？解假定办公室每天都接待，则P(9次来访都在周三、日)==0.00001279972这是小概率事件,一般在一次试验中不会发发生.现居然发生了,故可认为假定不成立,从而推断接待时间是有规定的.例8“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.需要注意的是：在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？下面的算法错在哪里？4102815)(AP错在同样的“4只配成两双”算了两次.97321456810从5双中取1双，从剩下的8只中取2只例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？正确的答案是：410252815)(AP请思考：还有其它解法吗？2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：有n个人，每个人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在N间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率.人房3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车的概率为1/N(N≥n)，求指定的n个站各有一人下车的概率.旅客车站3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365.求这n(n≤365)个人的生日互不相同的概率.人任一天3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同.求每天恰好发生一次车祸的概率.车祸天你还可以举出其它例子，留作课下练习.早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的.把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了几何概型.由此形成了确定概率的另一方法——几何方法.例9某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率9点10点10分钟616010)(AP几何概型(等可能概型的推广)例9几何概型设样本空间为有限区域,若样本点落入内任何区域G中的概率与区域G的测度成正比,则样本点落入G内的概率为的测度的测度GAP)(例两船欲停同一码头,两船在一昼夜内独立随机地到达码头.若两船到达后需在码头停留的时间分别是1小时与2小时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.解设船1到达码头的瞬时为x,0x24船2到达码头的瞬时为y,0y24设事件A表示任一船到达码头时需要等待空出码头xy2424y=x224S22222321AS1207.01)(SSAPA}240,240),{(yxyx}20,10,),(),{(yxxyyxyxA几何概率中的悖论几何概率在现代概率概念的发展中曾经起过重大作用，十九世纪时，不少人相信，只要找到适当的等可能性描述，就可以给概率问题以唯一的解答，然而有人却构造出这样的例子，它包含着几种似乎都同样有理但却互相矛盾的答案，大家可以课后去寻求著名的例子。几何概率中的蒲丰投针问题试验：通过向2条平行线之间任意投掷一根针，可以估计出圆周率∏的大小方法：随机模拟法，MonteCarlo方法。EX5EX8EX9EX13