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试卷一一、填空（每小题2分，共10分）１．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。２.掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。３．已知互斥的两个事件满足，则___________。４．设为两个随机事件，，，则___________。５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分）1.从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。(A)取到2只红球(B)取到1只白球(C)没有取到白球(D)至少取到1只红球2．对掷一枚硬币的试验,“出现正面”称为（）。(A)随机事件(B)必然事件(C)不可能事件(D)样本空间3.设A、B为随机事件，则（）。(A)A(B)B(C)AB(D)φ4.设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。(A)与互斥(B)与不互斥(C)(D)5.设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。(A)(B)(C)(D)6.设相互独立，则（）。(A)(B)(C)(D)7.设是三个随机事件，且有，则（）。(A)0.1(B)0.6(C)0.8(D)0.78.进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。(A)p2(1–p)3(B)4p(1–p)3(C)5p2(1–p)3(D)4p2(1–p)39.设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。(A)(B)(C)(D)10.设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。(A)P(AB)=P(C)(B)P(A)+P(B)–P(C)≤1(C)P(A)+P(B)–P(C)≥1(D)P(A)+P(B)≤P(C)三、计算与应用题（每小题8分，共64分）1.袋中装有5个白球，3个黑球。从中一次任取两个。求取到的两个球颜色不同的概率。2.10把钥匙有3把能把门锁打开。今任取两把。求能打开门的概率。3.一间宿舍住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份概率。4.50个产品中有46个合格品与4个次品，从中一次抽取3个，求至少取到一个次品的概率。5.加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分别为0.2，0.1，0.1，并且任何一道工序是否出次品与其它各道工序无关。求该种零件的次品率。6.已知某品的合格率为0.95，而合格品中的一级品率为0.65。求该产品的一级品率。7.一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率。8.某厂的产品，按甲工艺加工，按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与0.9。现从该厂的产品中有放回地取5件来检验，求其中最多有一件次品的概率。四、证明题（共6分）设，。证明试卷一参考答案一、填空1.或2.出现的点数恰为53.与互斥则4.0.6故5.至少发生一个，即为又由得故二、单项选择1．2.A3.A利用集合的运算性质可得.4．与互斥故5．故6．相互独立7.且则8.9.B10.B故P(A)+P(B)–P(C)≤1三、计算与应用题1.解：设表示“取到的两球颜色不同”，则而样本点总数故2.解：设表示“能把门锁打开”，则，而故3.解：设表示“有4个人的生日在同一月份”，则而样本点总数为故4.解：设表示“至少取到一个次品”，因其较复杂，考虑逆事件=“没有取到次品”则包含的样本点数为。而样本点总数为故5.解：设“任取一个零件为次品”由题意要求，但较复杂，考虑逆事件“任取一个零件为正品”，表示通过三道工序都合格，则于是6.解：设表示“产品是一极品”，表示“产品是合格品”显然，则于是即该产品的一级品率为7.解：设“箱中有件次品”，由题设，有，又设“该箱产品通过验收”，由全概率公式，有于是8.解：依题意，该厂产品的合格率为，于是，次品率为设表示“有放回取5件，最多取到一件次品”则四、证明题证明，，由概率的性质知则又且故试卷二一、填空（每小题2分，共10分）1.若随机变量的概率分布为，，则__________。2.设随机变量，且，则__________。3.设随机变量,则__________。4.设随机变量，则__________。5.若随机变量的概率分布为则__________。二、单项选择(每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分)1.设与分别是两个随机变量的分布函数，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（）。(A)(B)(C)(D)2.设随机变量的概率密度为，则（）。(A)(B)(C)(D)3.下列函数为随机变量分布密度的是()。(A)(B)(C)(D)4.下列函数为随机变量分布密度的是()。(A)(B)(C)(D)5.设随机变量的概率密度为，，则的概率密度为（）。(A)(B)(C)(D)6.设服从二项分布，则（）。(A)(B)(C)(D)7.设，则（）。(A)(B)(C)(D)8．设随机变量的分布密度为,则（）。(A)2(B)1(C)1/2(D)49．对随机变量来说，如果，则可断定不服从（）。(A)二项分布(B)指数分布(C)正态分布(D)泊松分布10．设为服从正态分布的随机变量，则()。(A)9(B)6(C)4(D)-3三、计算与应用题（每小题8分，共64分）1.盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。求抽取次数的概率分布。2.车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车。求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？（2）若车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？3.某种电子元件的寿命是随机变量，其概率密度为求（1）常数；（2）若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。4.某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量，且。求（1）这样的电池寿命在250小时以上的概率；（2），使电池寿命在内的概率不小于0.9。5.设随机变量。求概率密度。6.若随机变量服从泊松分布，即，且知。求。7.设随机变量的概率密度为。求和。8.一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。求（1）的概率分布；（2）。四、证明题（共6分）设随机变量服从参数为2的指数分布。证明：在区间上，服从均匀分布。试卷二参考答案一、填空1.6由概率分布的性质有即，得。2.，则3.0.54.5.0.25由题设，可设即010.50.5则二、单项选择1.()由分布函数的性质，知则，经验证只有满足，选2.()由概率密度的性质，有3.()由概率密度的性质，有4.()由密度函数的性质，有5.()是单减函数，其反函数为，求导数得由公式，的密度为6.()由已知服从二项分布，则又由方差的性质知,7.()于是8.(A)由正态分布密度的定义,有9.(D)∴如果时,只能选择泊松分布.10.(D)∵X为服从正态分布N(-1,2),EX=-1∴E(2X-1)=-3三、计算与应用题1.解：设为抽取的次数只有个旧球,所以的可能取值为：由古典概型，有则12342.解：设表示同一时刻需用小吊车的人数，则是一随机变量，由题意有，，于是（1）的最可能值为，即概率达到最大的（2）3.解：（1）由可得（2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，因此，若用表示“线路正常工作”，则而故4.解：（1）（查正态分布表）（2）由题意即查表得。5.解:对应的函数单调增加，其反函数为，求导数得，又由题设知故由公式知：6.解:，则而由题设知即可得故查泊松分布表得，7.解:由数学期望的定义知,而故8.解:（1）的可能取值为且由题意,可得即0123（2）由离散型随机变量函数的数学期望，有四、证明题证明：由已知则又由得连续，单调，存在反函数且当时，则故即试卷三一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题2分，共10分）1.设二维随机变量的联合分布律为，则__________，__________.2.设随机变量和相互独立，其概率分布分别为，则__________.3.若随机变量与相互独立，且，，则服从__________分布.4.已知与相互独立同分布，且则__________.5.设随机变量的数学期望为、方差，则由切比雪夫不等式有__________.二、单项选择(在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分)1.若二维随机变量的联合概率密度为，则系数（）.(A)(B)(C)(D)2.设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和，则下列结论正确的是（）.(A)(B)(C)(D)3.设随机向量(X,Y)的联合分布密度为,则（）.(A)(X,Y)服从指数分布(B)X与Y不独立(C)X与Y相互独立(D)cov(X,Y)≠04.设随机变量相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀分布的有（）.(A)(B)(C)(D)5.设随机变量与随机变量相互独立且同分布,且,则下列各式中成立的是（）.(A)(B)(C)(D)6．设随机变量的期望与方差都存在,则下列各式中成立的是（）.(A)(B)(C)(D)7.若随机变量是的线性函数，且随机变量存在数学期望与方差，则与的相关系数（）.(A)(B)(C)(D)8.设是二维随机变量，则随机变量与不相关的充要条件是（）.(A)(B)(C)(D)9.设是个相互独立同分布的随机变量，，则对于，有（）.(A)(B)(C)(D)10.设,为独立同分布随机变量序列，且Xi(i=1,2,…)服从参数为λ的指数分布，正态分布N(0,1)的密度函数为,则（）.三、计算与应用题（每小题8分，共64分）1.将2个球随机地放入3个盒子，设表示第一个盒子内放入的球数，表示有球的盒子个数.求二维随机变量的联合概率分布.2.设二维随机变量的联合概率密度为（1）确定的值；（2）求.3.设的联合密度为（1）求边缘密度和；（2）判断与是否相互独立.4.设的联合密度为求的概率密度.5.设，，且与相互独立.求（1）的联合概率密度；（2）；（3）.6.设的联合概率密度为求及.7.对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是1.5.求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.8.抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于10个，则认为这批产品不能接受.问应检查多少个产品才能使次品率为10%的这批产品不被接受的概率达0.9.四、证明题（共6分）设随机变量的数学期望存在，证明随机变量与任一常数的协方差是零.试卷三参考解答一、填空1.由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得2.3.相互独立的正态变量之和仍服从正态分布且，，∴4.5.二、单项选择1.(B)由即∴选择(B).2.(B)由题设可知，故将标准化得∴选择(B).3.(C)∴选择(C).4.(C)∵随机变量相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布,则∴选择(C).5.(A)∴选择(A).6.(A)∵由期望的性质知∴选择(A).7.(D)∴选择(D).8.(B)与不相关的充要条件是即则∴选择(B).9.(C)∴选择(C).10.(A)Xi(i=1,2,…)服从参数为λ的指数分布，则故∴选择(A).三、计算与应用题1.解显然的可能取值为；的可能取值为注意到将个球随机的放入个盒子共有种放法,则有即的联合分布律为2.解（1）由概率密度的性质有可得（2）设，则3.解（1）即即，（2）当时故随机变量与不相互独立.4.解先求的分布函数显然，随机变量的取值不会为负，因此