概率论课件.

•1概率论与数理统计•2简单的说，概率就是刻画事件发生的可能性大小的数量指标。事件A的概率记为P(A）§1.2随机事件的概率•3例如，保险公司了解发生意外人身事故的可能性大小,以确定保险金额.了解事件发生的可能性大小即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？先给大家举几个例子。飞机失事沉船事件•4了解来某商场购物的顾客人数的各种可能性大小，以合理配置服务人员.客流量•5了解某地每年最大洪水超过警戒线可能性大小，以合理确定堤坝高度.•Ch1-6§1.2概率定义计算•历史上概率的三次定义•③公理化定义•②统计定义•①古典定义•概率的最初定义•基于频率的定义•1930年后由前•苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出在相同的条件下，重复进行n次试验，在这n次试验中，事件A出现的次数nA称为事件A出现的频数，比值•7nnA称为事件A在这n次试验中出现的频率。)(Afn一、频率例：抛一枚均匀硬币100次，出现51次正面，则A={出现正面}这一事件在100次试验中出现的频率为：•8频率表示事件A发生的频繁的程度。)(100Af10051=0.51•9,1)(0,)1AfAn事件1)()2nf)...(21nnAAAf3)若A1,A2,…,An是两两互不相容的事件，)(...)()(21nnnnAfAfAf频率具有以下基本性质则:•10nnA０对任意事件Ａ，有）1nnnnA01)(0Afn生，在每次试验中一定会发必然事件）2nn故有nnfn)(次，出现了次，出现了次试验中，设在BAnBnAn)3出现的互不相容，所以事件与由于BABAnnnBAfBAn)(BAnn次数为：nnnnBA)()(BfAfnnnn=1例1：将一枚硬币抛5次,50次各做6遍,得结果如下：设A:出现正面，nA:出现正面的次数•11试验序号nAfn(A)nAfn(A)1234562315120.40.60.21.00.20.42225212524210.440.500.420.500.480.42频率是一个试验值与每次试验有关n=50n=5•Ch1-12•投一枚硬币观察正面向上的次数•n=4040,nH=2048,fn(H)=0.5069•n=12000,nH=6019,fn(H)=0.5016•n=24000,nH=12012,fn(H)=0.5005•频率稳定性的实例•蒲丰(Buffon)投币•皮尔森(Pearson)投币•Ch1-13•例DeweyG.统计了约438023个英语单词•中各字母出现的频率,发现各字母出现•的频率不同：•A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389•E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573•I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394•M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186•Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987•U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016•Y:0.0202Z:0.0006随着试验次数n的无限增加，事件A发生的频率将趋于一个常数。•14频率的稳定性频率的稳定性就是通常所说的统计规律性。对于每一个事件A都有这样一个客观存在的常数与之对应，这是事件本身所具有的一种属性。•Ch1-15•频率的应用•当试验次数较大时有事件发生的概率事件发生的频率•根据如下百年统计资料可得•世界每年发生大地震的概率•Ch1-16•近百年世界重大地震•1905.04.04克什米尔地区8.088万1906.08.17智利瓦尔帕莱索港地区8.42•1917.01.20印度尼西亚巴厘岛1.5万•1920.12.16中国甘肃8.610万•1923.09.01日本关东地区7.914.2万•1935.05.30巴基斯坦基达地区7.55万•时间地点级别死亡•“重大”的标准•①震级7级左右•②死亡5000人以上•Ch1-17•时间地点级别死亡•1948.06.28日本福井地区7.30.51万•1970.01.05中国云南7.71万•1976.07.28中国河北省唐山7.824.21978.09.16伊朗塔巴斯镇地区7.91.5•1995.01.17日本阪神工业区7.20.6万•1999.08.17土耳其伊兹米特市7.41.7万•2003.12.26伊朗克尔曼省6.83万•2004.12.26印尼苏门答腊岛附近海域9.015万•世界每年发生大地震概率约为14%在相同的条件下,重复进行n次试验,事件A发生的频率fn(A)在某常数值p附近摆动,而且一般来说，n越大，摆动的幅度越小，则称频率的稳定值p为事件A发生的概率，记为P(A），即P(A)=p•18pPfn(A)概率的统计定义)(n在实际问题中，我们无法把一个试验无限次地重复下去，因此要获得频率的稳定值P(A)是件难事。但在重复次数n较大时，一般来说频率就非常接近概率P(A)。在统计学中把频率称为概率的估计值，在实际中常把频率当作概率的近似值用。•19对定义的评价•优点：直观•易懂•缺点：粗糙•模糊•不便•使用试验：从袋中编号分别为1,2,…,10的十个完全相同的球中任取一个，设：i={取出的球的号数为i}i=1,2,…,10这类试验具有以下两个特点：•20二、古典概率1、试验的样本空间只有有限个样本点，即基本事件只有有限个，不妨设为n个1,2,…,n2、试验中每个样本点出现的可能性相等即:P(1)=P(2)=…=P(n)把具有上述两个特点的试验模型称为古典概型。•21在古典概型中，若试验E的样本空间为：=1,2,,n，事件A由其中m个基•22)(APm则定义A的概率为:}{A,1i本事件组成，基本事件总数中包含的基本事件数A,...2in概率的古典定义（Laplace1812年）mi,古典概率具有以下三条基本性质：1）对任一事件A，有0P(A)1.2)对必然事件有，P()=13）若事件A1,A2,…,An两两互不相容，则:P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)•23•24“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的。在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件。需要注意的是：•25因为抽取时，这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易被取到.也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.10个球中的任一个被取出的机会都是1/107891065421379101234586•26在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.例2：从编号分别为1,2,…,10的十个完全相同的球中任取一个，设•27nmBP)(B=“取出的球的号数不大于3”105利用古典概率公式求概率问题即为计数问题.排列组合是计算古典概率的重要工具.A=“取出的球的号数为偶数”则：基本事件总数中包含的基本事件数A)(APnm}10,...,2,1{}10,8,6,4,2{A}3,2,1{B10321例1：假设某城市的电话号码由7位数组成（第一位数不为0），求下列事件的概率。A1=“七个数完全相同”A2=“七个数不含0和9”•28古典概率的例子•29)(1AP所含的基本事件数：2A2m)(2APm11）A1=“七个数完全相同”2）A2=“七个数不含0和9”A1所含的基本事件数：×106n==978解：基本事件总数：假设某城市的电话号码由7位数组成（第一位数不为0），求下列事件的概率9000001.0923301.06109671098例2设有一批产品共100件，其中有5件次品，从中任取5件，求取出的5件产品中恰有两件次品的概率。解：基本事件总数：•30设A=“取出的5件产品中恰有两件次品”A所含的基本事件数：mnmAP)(510039525CCC395Cn5100C018.025C例3、将一颗均匀的骰子连掷两次，求两次出现的点数之和等于7的概率。解：设A=“两次出现的点数之和等于7”•31366)(APn=A所含的基本事件个数：m=6基本事件总数为：6(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)616×=36例4：袋中有10个球，4个红的，6个白的，现分别按下列三种方式取球：1）有放回地从中任取3个球；2）不放回地从中任取3个球；3）一次从中取出3个球（一把抓），•32求取出的3个球中有2个红球1个白球的概率。解：设A=“取出的3个球中有2红1白”1）有放回抽样：每次抽取一个，看后放回袋中，然后再抽取下一个。•33mnmAP)(于是：红红白红白红白红红23Cn=103A所含基本事件数：有放回地从中任取3个球基本事件总数：32231064C64213C288.02)不放回抽样：每次抽取一个，看后不放回袋中，然后在剩下的球中抽取下一个。•34634mA所含基本事件数：nmAP)(于是：n=109823C3.0不放回地从中任取3个球基本事件总数：891063423CA=“取出的3个球中有2红1白”•35n所含的基本事件数：AmnmAP)(于是：基本事件总数：当所考虑的事件与抽样次序无关时，从n个元素中不放回地抽取m个，可看16C作m个同时取出。310C3）一次从中取出3个球3101624CCC3.024C例5设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，问其中恰有k(kD)件次品的概率是多少?nNC种，又在D件次品中取k件，所有可能的取法有种，knDNC在N-D件正品中取n-k件,所有可能的取法有kDC种，解：在N件产品中抽取n件，取法共有不放回抽样1）于是所求的概率为：nNknDNkDCCCp此式即为超几何分布的概率公式。由乘法原理知：在N件产品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有种，knDNkDCC2）有放回抽样从N件产品中有放回地抽取n件产品进行排列，可能的排列数为个，将每一排列看作基本事件，总数为而在N件产品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有于是所求的概率为：nNknkknDNDC)(nNknkknnknkknNDNDCNDNDCP)1()()(此式即为二项分布的概率公式。例6设有n个球，每个球都等可能地落入N个盒子中的一个，其中。求下列事件的概率：•A：某指定的n个盒子中各落入一球；•B：恰有某n个盒子，每盒中各落入一球；•C：某个指定的盒子中落入m个球，•D：恰好n-1个盒子里有球。Nn;nmnN解由于每个球都可能落入N个盒子中的任意一个，所以n个球共有种落法，在处理事件B时，从N个盒子中任选n个，有种选法；把每种落法为一个基本事件，这是一个古典概型问题，基本事件总数。nNnNnAP!)(nNCnnNNnCBP!)(事件A包含的基本事件的个数显然是n!，故选定n个盒子后，每个盒子各落入一球的方法为n！种，故A：某指定的n个盒子中各落入一球B：恰有某n个盒子，每盒中各落入一球对于事件C，m个球可在n个球中任选，共有种选法，其余个球可以任意落入另外的N-1个盒子中，共有种落法。所以C包含的基本事件个数是。故mnCmnmnN)1(mnmmnnmnmnNNCNNCCP)11()1()1()((1)mnmnCNC：某个指定的盒子中落入m个球，可先任取落入2个球的一个盒子，有N种取法，再任取n-2个盒子落入一个球，有种取法，然后将球落进去，落法有种，故21nNC!2!)!2(2nnCnD：恰好n-1个盒子里有球对于事件D，注意到“n-1个盒子里有球”意味着一个盒子中有2个球，另n-2个盒子每盒有一个球。121212!!2!)(nnNnnNNCnNnNCDP例7有n个人，设每人的生日是任何一日的