概率论课件第一章习题课.

第一章事件与概率主要内容:一、概率的概念１．事件的有关关系和运算;２．概率的定义.（1）描述性定义；（2）统计定义；（3）公理化定义.二、概率的性质三、三种特殊概率：古典概型、几何概型、伯努利概型四、有关条件概率的计算公式五、独立性第一章习题课随机试验随机事件样本空间事件的关系及运算小结基本概念必然事件不可能事件三个限定条件——所有基本事件构成的集合——四种关系和三种运算•可在相同条件下重复进行；•每次试验可出现多种可能结果；•每次试验前能明确试验的所有可能结果，但不能确定试验后会出现哪一个结果.基本事件复合事件试验的每个可能的结果——不能再分或不必细分——多于一个的基本事件构成P()=1，P()=0，反之不真！反之不真！•关系•运算包含相等互斥互逆和积差AB=AB=，A∪B=两两互不相容交换律结合律分配律对偶律——和、积——和、积——积关于和，和关于积——和、积A∪B={|A或B}A∩B={|A且B}A-B={|A且B}BABABABA,概率定义性质——定义在样本空间上满足三条公理的集合函数——5条(1)0≤P(A)≤1;(2)P()=1;(3)两两互不相容事件A1,…,An,…有P(Ai)=P(Ai).10P()=0;20若事件A1,…,An两两互不相容,则P(Ai)=P(Ai);30对任意事件A,B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB);40对任一事件A，有P(A)=1-P(A);50设Ａ,B是两个事件，且BＡ，则P(A-B)=P(A)-P(B),P(B)≤P(A),直接计算推算古典概型几何概率伯努利概型条件概率利用独立性重要公式计算乘法公式全概率公式贝叶斯公式P(AB)=P(A)P(B)niiiBAPBPAP1)|()()(P(AB)=P(A)P(B|A)(P(A)0)njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|()()()|(BPABPBAP等可能性)(中的样本点总数包含的样本点数AAP的度量的度量AAP)(有包含或主从关系时用knkknnqpCkP)(nk0CABABCCABCBC---------该生是三年级男生但不是运动员---------全系远动员都是三年级男生---------全系远动员都是三年级学生--------全系女生在三年级且三年级学生的都是女生，即三年级学生由该系女生组成ABBABA且例1在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。CABBC（2）在什么条件下ABC=C成立？（1）叙述事件的意义。（3）什么时候关系式是正确的？（4）什么时候成立？BA例2．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？答：（1）两事件对立必定互不相容，但互不相容未必对立；（2）互不相容的概念适用与多个事件，但对立的概念只适用于两个事件；（3）两个事件互不相容是指这两个事件不能同时发生，即至多只能发生一个，但可以都不发生，而两个事件对立则表示它们有且仅有一个发生。iAiA例3．某人投篮两次，设“第i次投中”，i=1，2，试用B=“两次都投中”，C=“两次都未投中”，D=“恰有一次投中”，E=“至少有一次投中”，并指出B、C、D、E中哪些是互不相容事件？哪些是对立事件？表示下列事件：,21AAB,21AAC,2121AAAAD21AAE答：（1）事件B、C、D两两互不相容，因为在两次投篮中，B、C、D不可能同时发生任意两个结果。事实上22112121AAAAAAAABC)()()(221211212121AAAAAAAAAAAACD211221212121)()()(AAAAAAAAAAAABD即BDCDBC故B、C、D两两互不相容。)(2121AAAACE2121AAAAEC（2）C和E是对立事件故C和E是对立事件。2121AAAA,,,,,,654321A,,,321B654,,CCBCABA例4．若事件A、B、C满足A+C=B+C，问A=B是否成立？则但显然答：不一定成立。例如：,,qBPpAP.,,,,BAPBAPABPBAPBAP例5．设随机事件A,B互不相容，已知试求：AB解：因为A，B互不相容,故有又因为A，B互不相容，故所以0PABPqBPBAPqpBAPBAPBAP11qpBPAPBAPpAPBAP1例6设A,B满足P(A)=0.6,P(B)=0.7,在何条件下，P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解)()()()(ABPBPAPBAP)()()()(BAPBPAPABP3.01)()(BPAP1)(BAP最小值在时取得6.0)()(APABP——最小值——最大值)()(BPBAP最大值在时取得例7.设事件A{掷一枚骰子4次，得一次六点}；B{掷二枚骰子24次，得一次双六}.试比较)(),(BPAP的大小.解C{掷一枚骰子1次，得六点}是伯努利试验的一种结果，且,61)(CP故,386.06546561)(43314CAPD{掷二枚骰子1次，得双六}是伯努利试验的一种结果，且.361)(DP故.349.09040.0386.0675654635243635361)(43232043482323124CBP所以).()(BPAP例8．将3个小球随机地放入4个盒子中,求盒子中球的最多个数分别为1，2，3的概率。解：这是一个古典概型问题，3个球放入4个盒子中是34种。有重复的排列，总方法有34343PC!8343341PP（1）、盒子中球的最多个数为1，即3个球分别放入4个盒子中的3个盒子中包含的基本事件数为：盒子中的2个盒子中，放法为（2）盒子中球的最多个数为2，即3个球分别放入4个,24P,13C361324CP2个球，另一个盒子中有1个球，这一个球从3个球中所以该事件包含的基本其中一个盒子中有任取，取法为组合数为事件数为：16943632P14P1614433P（3）盒子中球的最多个数为3，即3个球分别放入4个盒子中的1个盒子中，放法为：2121AAAAA解设A=“取到的n个数字的乘积能被10整除”A1=“取到的n个数字中有偶数”A2=“取到的n个数字中有5”A=A1A2例9在1,2,3,,9中重复地任取n()个数,求n个数字的乘积能被10整除的概率.2nnAP951nnAP982nnAAP9421nnnnAAPAPAPAAPAP9485212121.94851nnnnAP例10把标有1,2,3,4的4个球随机地放入标有1,2,3,4的4个盒子中，每盒放一球，求至少有一个盒子的号码与放入的球的号码一致的概率。解设A为所求的事件，设Ai表示i号球入i号盒，i=1,2,3,4则41iiAA4,3,2,1,41!4!3)(iAPi41,121!4!2)(jiAAPji41,241!4!1)(kjiAAAPkji241)(4321AAAAP4141)()()(jijiiiAAPAPAP85)()(432141AAAAPAAAPkjikji由广义加法公式例11.可靠性问题2514331421423元件5不能正常工作元件5能正常工作系统1系统2(桥式系统）设一个系统由5个元件组成，连接的方式如图所示，每个元件的可靠度都是p，每个元件是否正常工作是相互独立的。求这个桥式系统的可靠度.解：设事件A表示整个桥式系统正常工作，iA个元件正常工作，i＝1,2,3,4,5表示第i系统13142422pp5AAP1423系统25AAP4231AAPAAP222pp543255552522ppppAAPAPAAPAPAP4321AAAAP4231AAAAP即被仪器判为不合格品的产品中有98%的产品为合格品，从而不能采用这台新发明的仪器．例12.某厂生产的产品不合格率为0.1%,但是没有适当的仪器进行检验．有人声称发明了一种仪器可以用来检验，误判的概率仅5%，即把合格品判为不合格的概率为5%,，把不合格品判为合格品的概率也是5%.试问能否采用该人发明的仪器？解设事件A表示“随机抽取1件产品为不合格品”，事件B表示“随机抽取1件产品被仪器判为不合格品”，根据全概率公式有()()()()PBAPAPBAPA95%0.1%5%99.9%0.0509.()()()()()()()95%0.1%0.02.95%0.1%5%99.9%PBAPAPABPBAPAPBAPA()PB由Bayes公式有例13.选择题1．当事件A与B同时发生时，事件C必发生。则下列结论正确的是（）.A)()(ABPCP.B)()(BAPCP.C1)()()(BPAPCP.D1)()()(BPAPCP1.C.因).()(,ABPCPCAB由)()()()(1ABPBPAPBAP得.1)()()(BPAPABP•解答2．设CAB.ACAB.BCACBCBA.DCACB且C或则()•答案Ａ3．某人射击时，每次中靶的概率为,41如果射击到中靶为止，则射击次数为3的概率为（）.A3)41(.B41432.C43412.D343•答案Ｂ4.设.0)(,0)(BPAPBA,互不相容,则一定成立的是（）.A)(1)(BPAP.B0)(BAP.C1)(BAP.D0)(ABP5．设BA,是任意两个事件，则)(BAP（）.A)()(BPAP.B)()()(ABPBPAP.C)()(ABPAP.D)()()(ABPBPAP•答案Ｂ•答案Ｃ7．设.8.0)(,7.0)(,8.0)(BAPBPAP则下列结论正确的是（）A.A,B独立B.A,B互斥C.ABD.)()()(BPAPBAP6.设BA,为两个随机事件，且有则下列结论正确的是,1)(ABCP（）.A1)()()(BPAPCP.B)()(ABPCP.C1)()()(BPAPCP.D)()(BAPCP•答案Ｃ•答案Ａ).()(,ABPCPCAB•8．10只球中有3只红球，7只绿球，随机地分给10个小朋友，每人一球。则最后三个分到球的小朋友中恰有一个得红球的概率为（）.A10313C.B2)107(103.C213)107(103C.D3102713CCC9.设CBA,,是两两独立且不能同时发生的事件，且xCPBPAP)()()(则x的最大值为()A.21B.1C.31D.41•答案D•解答由CBABAA有,1)()()(0CBAPBAPAP即.1332022xxxxx解得.210x9.A•10．在10只球中只有1只红球，有放回地抽取，每次取一球，直到第n次才取到k(kn)次红球的概率为().Aknk109101.BknkknC109101.CknkknC10910111.DknkknC109101111•答案