概率论题目

A1北京邮电大学2013—2014学年第1学期3学时《概率论与随机过程》期末考试试题（A）答案考试注意事项：学生必须将答题内容做在试题答题纸上，做在试题纸上一律无效一、填空题（45分，每空3分）1.若123,,AAA相互独立，且(),1,2,3iiPApi，则这3个事件至少有一个发生的概率为.1231(1)(1)(1)ppp2.有编号为甲、乙两个袋子，甲袋子装有4只黑球，乙袋子装有4只白球，从甲袋子中取出两只球放入乙袋子，再从乙袋子中取出两只放入甲袋子，最后，从甲袋子中取出两球，问两球均为黑球的概率p=.2/53.三次独立的试验中，成功的概率相同，已知至少成功一次的概率为1927，则每次试验成功的概率为.1/34.设随机变量X的分布律为1(),1,2,...2kPXkk，则(PX为偶数）=.1/35.统计资料表明，某地区每年交通事故次数X服从泊松分布,每年发生8次交通事故的概率是发生10次交通事故的概率的2.5倍，则(2)PX=.618e6.设随机变量X的分布函数为()Fx，概率密度函数为()fx，如果()fx是偶函数，且满足0()cfxdx=0.3，则(-)Fc=.0.27.设随机变量~(1,1),~(2,5)XNYN且相互独立，求23ZXY的概率密度函数()fz=.2(3)181,32zez8.设(,)XY的概率密度为1,01,(,)10,otherwise,xyfxyxA2则对任意给定的(01)xx，()Xfx.19.设甲打电话所用时间X服从指数分布，打电话所花时间超过两分钟和不超过两分钟的概率相等。乙找甲有事情商量，因为甲正在打电话就在旁边默默等候，则乙等待时间超过5分钟的概率为.2/810.设随机变量,XY满足()1,()4,0.5XYDXDY，则(221)DXY.1211.设(,)XY的联合概率密度为(2)2e,0,0,(,)0,otherwise,xyxyfxy则概率(1,2)PXY.14e(1e)12.设过程()cos,RXtAtt，A为一随机变量，分布律为A123P131313则一维分布函数(,)4Fx.20,,212,2,32(,)423,22,3231,2.2xxFxxx13.设}{(),Wtt是参数为2的维纳过程，~(1,4)RN是正态随机变量，且对任意的t，()Wt与R独立。令()()XtWtR，则(,)XRst.2min(,)5st14.设平稳高斯过程{(),}Xtt的均值为零,相关函数为2||1()e4XR,A3则对任意固定的0t,0()Xt的概率密度函数0(,)fxt.222,2xex15.设平稳过程{(),0}Xtt的功率谱密度22()1XS，则其平均功率Q.1二、（15分）设随机变量X具有概率密度sin,0,()0,,axxfx其它求(1)常数a,(2)()4PX,(3)X的分布函数。解.(1)01f()sin1,2xdxaxdxa由得(3分)（2）4401122()sinsin.4224PXxdxxdx（3分）（3）0,()0;xFx对于任意的,()1;xFx对于任意的（3分）0(0,),111()sinsin(1cos).222xxxFxxdxxdxx对于任意的（3分）所以，分布函数0,01()(1cos),021,xFxxxx（3分）三、（15分）A4设二维随机变量(,)XY的联合密度函数,,(,)(,)0,otherwise,kxyfGxy其中区域{(,):||1,||1}Gxyxyx，求（1）常数k；（2）X的边缘概率密度()Xfx；（3）当xX时，Y的条件密度函数)(xyfXY；（4）概率1||PXY。解(1)因为{(,):||1,||1}Gxyxyx的面积为4，所以1/4k(3)(2)当||1x时，111()(,)1/24xXxxfxydyfdy，所以1/2,||1,()0,otherwiswe,Xxfx（4）(3)当(1,1)x时，Y的条件密度函数1,(2.2),(,)2()0,otherwise,()XXYyfyxfxyfx（4）（4）概率|/1|12PXY。（4）四、（15分）设齐次马氏链{,0}nXn的状态空间为{,,}Eabc，转移概率矩阵为1/21/41/42/301/33/52/50P，初始分布为01{},,,.3PXiiabc（1）求3101{,|},{};PXcXbXaPXb（2）证明：齐次马氏链{,0}nXn具有遍历性，并求其极限分布。A5解.（1）217/309/405/248/153/101/617/303/2017/60P，（5分）(2)3101223111{,|}.4624PXcXbXapp（3分）111213{}.34560PXb（3分）（2）证明：因为矩阵2P的元素均为正数，所以马氏链{,0}nXn具有遍历性。（2分）设极限分布为123(,,)，则123,1,P解得123522120.939393五、（10分）设随机过程()sincosZtXtYt，其中随机变量X和Y相互独立，且都以2/3和1/3的概率取值-1和2.（1）证明：过程{()}Zt是平稳过程；（2）计算功率谱密度()ZS.（1）证明：由于0,()0EXEYEZt为常数，又因为222,0,EXEYEXYEXEY(,)sincossincos2cos(),zRstEXsYsXtYtts取值只依赖于ts，所以随机过程{()}Zt是平稳过程。（6分）（2）i()2cosed2(1)(1).ZS（4分）