上海理工大学概率论复习(内含试卷两套)

第1章小结求概率的3个法宝：古典定义：P(A)=m/n,n为基本事件数，m为属于A的基本事件数；加法定理:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB);特别，A，B互斥时：P(A∪B)=P(A)+P(B)乘法定理:P(AB)=P(A)P(B|A)，P(A)0.特别，A，B独立时：P(AB)=P(A)P(B)(A-B=AB)重要公式：全概率；贝叶斯；二项概率。第二章小结x1)(lim)(0)(lim)(xFFxFFxxxdttfxF)()(1.X的分布函数:F(x)=P{X≤x}3.P{aX≤b}=F(b)-F(a)=f(x)=F/(x)2.连续型随机变量分布函数与概率密度关系：badxxf)(xxkkpxF)(Pk=F(xk)-F(xk-1)4*.离散型随机变量分布函数与分布律关系：设P{X=xk}=pk,(k=1,2,3,…),5.几种常见的分布离散型：（0-1）分布，二项分布，泊松分布；连续型：均匀分布，指数分布，正态分布。6.随机变量函数的分布()1fxdx1kkp第3章小结(1)1kkkpxEXdxxxfEX)(iiiE(g(X))g(x)p1.X的数学期望连续型:离散型:2.一维随机变量函数的数学期望(1)若X为离散型,P{X=xi}=pi,i=1,2,...,有(2)若X为连续型,概率密度为f(x),dx)x(f)x(g))X(g(E3.方差：DX=E(X-EX)2几种重要分布的期望与方差1、0-1分布：EX=pDX=pq2、二项分布：X~B(n,p),X01pqpEX=np,D(X)=npq3、泊松分布：X~P(λ)EX=∴DX=4、均匀分布：EX2baDX=(a-b)2/125、指数分布：1EX其它0]b,a[xab1)x(f,0;()0,0.xexfxx21DX6、正态分布：),(~2NXEX2DX=第3章小结（2）第4章小结(1)1.(X,Y)的分布函数：F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}.2.离散型(X,Y)的分布律:P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=1,2,…)xxyyijijpF(x,y)=jiijp.13.连续型(X,Y)的概率密度:yxdudvvufyxF),(),({(,)}(,)DPXYDfxydyxyxFyxf),(),(2;1),(),(Fdxdyyxff(x,y)在(x,y)连续时4.边缘分布函数:FX(x)=F(x,+∞),FY(y)=F(+∞,y)5.离散型随机变量的边缘分布律Y的分布律P.j=P{Y=yj}=1jijp1iijpX的分布律Pi.=P{X=xi}=(i=1,2,…)(j=1,2,…)•(X,Y)的分布•边缘分布6.连续型随机变量的边缘概率密度fX(x)=dyyxf),(fY(y)=dxyxf),(第4章小结(3)•多维随机变量的数字特征10.二维随机变量函数的数学期望(1)离散型:P{X=xi,Y=yj}=pij,(i,j=1,2…),则(2)连续型:概率密度为f(x,y),则ijijijE[g(X,Y)]g(x,y)pE[g(X,Y)]g(x,y)f(x,y)dxdy第4章小结（4）();iiiiEkXkEX12n11X,X,...,X()nnkkkkEXEX独立11.数学期望的性质12.方差：DX=E(X-EX)2DX=EX2-(EX)213.方差的性质:1).D(C)=0;2)D(CX)=C2D(X);4).若X与Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y);14.协方差Cov(X,Y)=E{(X-EX)(Y-EY)}Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)15.相关系数:XYCov(X,Y)D(X)D(Y)ρXY=0,称X,Y不相关。D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y);3)D(aX+b)=a2D(X).记总体k阶原点矩为样本k阶原点矩为11nkkiiAXn用相应的样本矩去估计总体矩的方法就称为矩估计法.记总体k阶中心矩为样本k阶中心矩为11()nkkiiBXXn()kkEX{[()]}kkmEXEX如样本均值niiXnX11为总体均值)(XE的矩估计；niiXXnB122)(1为})]({[2XEXEDX的矩估计。(ch7)矩估计(ch7)最大似然估计2若X为连续总体，其概率密度为f(x;),则定义似然函数为设X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本，x1,x2,…,xn是样本的一次观测值。1若X为离散总体，定义似然函数为ˆ()max()LL最大似然估计法就是用使L()达到最大值的去估计.ˆ称为的最大似然估计（MLE）.ˆ(L()看作参数的函数,它是(X1,X2,…Xn)取到(x1,x2,…,xn)的概率.)niixfL1);()(niniiiixPxXPL11);()()(1、由于lnL()与L()在的同一值处达到它的最大值，因此可以使用对数似然函数lnL()求极大似然估计。即通过求解所谓“似然方程”：可以得到的MLE.ln()0dLd若是向量，上述方程必须用似然方程组代替.2、用上述求导方法有时行不通，这时可用直接求L()的最大值的方法求参数的MLE.两点说明：求最大似然估计(MLE)的一般步骤是：(1)写出似然函数L()。(2)求似然函数L()的最大值点，即的MLE;(ch7)一个正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限(P207)置信区间待估参数枢轴量的分布其它参数单侧置信限μμ22已知2未知μ未知1/2()Xun)1(~)1(222nSn)1(~/ntnSX)1,0(~/NnX1/2((1))SXtnn22221/2/2(1)(1)(,)(1)(1)nSnSnn1Xun1XZn1(1)SXtnn1(1)SXtnn222(1)(1)nSn2221(1)(1)nSn两个正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限(P207)置信区间待估参数枢轴量的分布其它参数单侧置信限μ1-μ2μ1-μ212,22已知12=22=2未知μ1,μ2未知22121/212()XYZnn)1,1(~//2122222211nnFSS)1,0(~)(22212121NnnYX21221/2122122/2121(,(1,1)1)(1,1)SSFnnSSFnn221212112XYunn22112222121(1,1)SSFnn2221221212112XYunn121121211(2)wXYtnnSnn121121211(2)wXYtnnSnn)2(~11)(212121nntnnSYXw2)1()1(212222112nnSnSnSw1/21212((2)11)wXYtnnSnn221122221121(1,1)SSFnn正态总体均值、方差的检验法(P228,233)检验统计量H0)1(~/00ntnSXtH00~(0,1)/HXUNn1Uu2)1()1(212222112nnSnSnSw1.2.3.4.μ≤μ0μ≥μ0μ=μ0(2已知)拒绝域1Uu/2||Uuμ≤μ0μ≥μ0μ=μ0(2未知)1(1)ttn1(1)ttn1/2||(1)ttnμ1-μ2≤δμ1-μ2≥δμ1-μ2=δ(12，22已知)μ1-μ2≤δμ1-μ2≥δμ1-μ2=δ(12=22=2未知)0221212~(0,1)HXYUNnn)2(~1121210nntnnSYXtHw1Uu1Uu1/2||Uu112(2)ttnn112(2)ttnn1/212||(2)ttnn正态总体均值、方差的检验法(P233)检验统计量H0)1,1(~2122210nnFSSFH)1(~)1(220220nSnH221(1)n3.4.2≤022≥022=02(μ未知)拒绝域112(1,1)FFnn12≤2212≥2212=22(μ1,μ2未知)22(1)n221/2(1)n22/2(1)n或12(1,1)FFnn1/212(1,1)FFnn/212(1,1)FFnn或一（20分）1.设A,B,C相互独立，P(A)=1/3,P(B)=P(C)=1/4,则P(A∪B∪C)=2.一副扑克共52张无大小王.从中抽取3张.这3张牌花色互不相同的概率为3.设X~B(n,p),其分布律为（）；E(2X-1)=();D(-2X+2)=()4.设随机向量(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ),则EX=();DY=();Cov(X,Y)=()5.随机地抽查某校的7名学生，测得他们的裸视力分别为:1.0，1.3，0.6，1.2，0.9，1.5，2.0.则总体均值μ及方差σ2的矩估计值分别为=（）；2=（）二（11分）一家灯泡厂三条流水线生产同一型号的灯泡.已知第1，2，3条流水线所生产的灯泡分别占全厂的50%，20%，30%，一级品率分别为90%，85%，80%，现从该厂灯泡中随机地抽取一只.1.求此灯泡是一级品的概率；2.已知抽到的是一级品，试求它是第一条流水线生产的概率.三（10分）某次大学英语考试成绩X~N(70,100).试求1.P{X85};2.P{|X-70|10};3.随机地抽查4名考生，其中恰有一人成绩≥85的概率.13/163352413C四（13分）设随机变量X具有概率密度.1||,0;1||,25)(4xxxxf1.试求X的分布函数FX(x);2.Y=X2的概率密度fY(y).五（8分）一个袋子中有4只黑球和5只白球.现从袋中随机地抽取5只球，不放回抽样.以X表示取到黑球的个数，以Y表示取到的黑球与白球的数目之差的绝对值.试求(X,Y)的分布律.六（16分）已知随机向量(X,Y)的概率密度为.,0;0,10,),(其它yxkxeyxfy试求1.常数k;2.P{X+Y≤1};3.边缘概率密度fX(x)和fY(y)；4.D(X+2Y).七（12分）设总体X的概率密度.0,0;0,1);(xxexfxθ0为未知参数，X1,X2,...,Xn是总体的一个样本.试求θ的最大似然估计量.是无偏估计量吗？八（10分）从某批同类型的瓶装饮料中随机地抽查6瓶，测得他们的重量（单位g）分别为：493，497，490，502，500，494.设总体X~N(μ,σ2).试在显著性水平α=0.05下检验假设：H0:μ≥500;H1:μ500.一（20分）1.袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，从中任取2只，则此2球颜色不同的概率为（）2.设随机变量X~P(λ),且P{X=2}=P{X=4},则λ=（）3.设X服从[1，3]上的均匀分布，则E(X)=();D(X)=().,0;10,)(4其他xcxxf二（12分）市场上出售的某种商品由3个厂家同时供货，其供应量第1厂家为第2厂家的2倍，第2，3厂家相同，而且第1，2，3厂家次品率分别为2