初中数学-12345模型(于新华)

1纪博士数数12345于特讲题主讲：纪东旭于新华整理：郑梦前【研修团队】郑梦前、顾永清、焦建林、黄萍学悟有别，你我自取，教学践行，适切至上！（林福凯）数学解题五境界第一个境界：正确解题．很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界．第二个境界：一题多解．我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题．一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单．对于最后的结果，是不是可以有其它的合理解释．第三个境界：多题一解．完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或把其中的数字换成字母，或把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目．第四个境界：发现定理．到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。这些结论、定理规律都是解题的有用工具。解题高手都有自己的定理库．第五个境界：自己编题．解题的最高境界是能够编题。不是所有的老师都具备编题的能力。解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。即便出题者粗心出现了一个错误，他也能够很快地纠正纠偏．刘俊勇：如果没有真正消化吸收为自己的东西，过一段时间就忘却了，真正弄清楚更重要，远胜于蜻蜓点水式浏览一遍．2一方面重视技巧，尤其是考试技巧学习技巧，另一方面回归数学本质，回归教育意义当我们听到一个技巧的时候，除了拿来使用之外，还需要去体会专家在思考、总结过程的数学思考，这个我觉得更加重要和有意义。因为专家的本意也正是立足于思想的交流，而不是一招一式的传递，在本地方的一些小型的培训中，我注意到活动中最最怕的就是坐在下面的教师一直把自己当成听众、容器，同时，相当一部教师的都有简单的拿来主义和简单的怀疑主义倾向，这个也特别可怕数学是思维的体操，没有绝技想拿冠军是不可能的。以教材为主对大部分学生适用，但在我们这光靠教材的知识点，中考想考满分概率为零。学灵魂在于积累、创新、规纳而不是照搬的模仿和接受，要有自己的数学大格局，适合自己的就是最好的！版块一引入问题1．如图1-1，在3×3的网格中标出了∠1和∠2，则∠1＋∠2＝图1-1图1-22．如图1-2，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，BD＝3，DC＝2，则AD的长为_________．版块二“123”+“45”的来源一般化结论：若45则有1tan1aa，1tana（1a），当32a时，则得到21tantan=35（了解）当a=2时，则得到11tantan=23（重要）当52a时，则得到23tantan=57（了解）;当4a时，则得到13tantan=45（次重要）3【例1】（济南市中考题）如图2-1，AOB是放置在正方形网络中的一个角，则cosAOB的值是．图2-1【例2】（2015湖北十堰）如图2-2，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE=53，且∠ECF=45°，则CF的长为（）A．102B．53C．5103D．1053图2-2倍角与半角构造当出现等腰三角形或翻折的背景问题时，解决策略“顶角底角顶角”解题依据“1902－顶角＝底角”．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC．⑴若tan2BCA，则tanBAC．⑵若4tan3BAC，则tanABC．4【例3】如图2-3，已知正方形ABCD中，E为BC上一点．将正方形折叠起来，使点A和点E重合，折痕为MN．若31tanAEN，DC＋CE＝10．⑴求△ANE的面积；⑵求ENBsin的值．图2-3【例4】如图2-4，已知正方形ABCD的边长为10，对角线AC、BD交于点O，点E在BC上，且CE=2BE，过B点作BFAE于点F，连接OF，则线段OF的长度为。图2-4【例5】（2011•武汉）如图2-5，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．⑴求证：PB为⊙O的切线；⑵若tan∠ABE=，求sin∠E．图2-5【例6】如图2-6，正方形ABCD中，点P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得到△PAE,过C作CF⊥DE交DE延长线于点F，若CF=2，则DF=．图2-65（2002•盐城）已知：如图2-7，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于F，若∠FGE＝45°．⑴求证：BD•BC＝BG•BE；⑵求证：AG⊥BE；⑶若E为AC的中点，求EF：FD的值．【例7】（江苏省竞赛题）如图2-8，等腰RtABC△中，90C，D为BC中点，将ABC△折叠，使A点与D点重合，若EF为折痕，则sinBED的值为．图2-8【例8】（全国初中数学联赛试题）如图2-9，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且MBCNMB，则有ABMtan．图2-9【例9】（天津市竞赛试题）如图2-10，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一点，∠ABE＝450，则AEBtan的值等于（）A．23B．2C．25D．3图2-106【例10】如图2-11，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，BC=2AD，点E在对角线AC上，且AE=AB,连接BE，tan∠ABE=2．若∠DAC=60°，CD=19，则线段BE的长为．图2-11【例11】（2010•上海）如图2-12，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．⑴若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；⑵若tan∠BPD=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．图2-12【例12】如图2-13，在平面坐标系中，点A(3，0),B(0，4),点C在x轴的负半轴上，且∠OAB=2∠BCO，求点C的坐标．图2-13【例13】如图2-14，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB与点F，若AB=4，BE=3，则BF的长为．图2-147【例14】如图2-15，在矩形ABCD中，AB=10，BC=20，若在BC、BD上分别取一点M、N，使得MN+NC的值最小，则这个最小值为．图2-15【例15】如图12-16，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点C落在点G处，若DE=1，CE=2，BC=6，则AF的长为．图2-16版块三12345拓展若定义符号“2”表示正切值为2的锐角，其余类似，则⑴．11290,39023；⑵．1145,2313523；⑶．112=+45,34532；8⑷．114113,223334；【例16】（202年泰州市中考题）如图3-7，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tanAPD的值是．图3-7【例17】如图3-8，二次函数223yxx，D（,0），在第四象限的抛物线上存在点P，使线段AP与直线CD的夹角为45°，求点P的坐标．图2-8【例18】如图3-20，在边长为2的正方形ABCD中，边CD上有一个动点，将△ADE沿AE翻折得△AEF，连接BD，分别交AE、AF于点M，O，作∠BAF的角平分线AN交BD于点N，若32BN,则OE=．图3-20【例19】(盘锦2015)如图3-9-⑴，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．⑴求抛物线解析式；3155yxx9⑵如图3-9⑵，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；⑶在⑵的条件下：①连接DF，求tan∠FDE的值；②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．版块四于特讲（解）题20．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上,13DEDC，连接AE，将△ADE沿AE翻折，点D落在点F处，点O是对角线BD的中点，连接OF并延长OF交CD于点G，连接BF，BG，则△BFG的周长是．210DKBG,DFFGDGDCCKDK,462210DFFG,610210,55DFFG,125225BFFHDF,10125105BFGC△．2,3CGHG,210BG,35BH,355FH,65FJ,2105FG125105BFGC△我打算从四个方面讲解．临时拉了一个提纲：一、角的拓展“12345”主要是研究特殊角的大小．大家可以思考，你在这个图形，能够获得哪些角的大小？图（1）图（1）显然∠1与∠2两个角的正切值为1/3,由113334,因此可得∠1＋∠2正切值为3/4从而可得∠BAF正切值为4/3（这是基于两个角互余，正切值互为倒数）；不要以为这是高中知识．实际上就是同一个直角三角形中两个互余锐角的事情．图（2）图（2）由114223，因此可得∠BAF（即顶角）一半的正切值为1/2．从而可得∠ABF的正切值为2,由(12902)，因此∠FBC的正切值为1/211要知道，这些知识，写得慢，对于会的人，在头脑中盘算极快．本身，你要学会口算，自然得掌握一些基本功．没有这样的基本功，你第一次听这样的讲座是非常累人的．二、适度几何．既然是几何问题，就尽可能挖掘其中的几何性质．就这个图形中，有哪些几何性质可值得挖掘呢？图（3）图（4）图（5）图（3）：由于△ABM∽△EDM，因此MB＝2MD由此可得MB＝2MD，进一步可得MO＝MD，即M是OD的中点．MB=3MD图（4）由于翻折，因此DN＝NF，且DF⊥AE．因此AE∥OG图（5）考虑AE与DF垂直关系，且∠DAE的正切值为1/3．这样又可以得到一大片角的信息．∠FDG的正切值为1/3，∠DGF的正切值为3最最关健的还得到一个重要的几何信息：E、G是边CD的三等分点！图（6）如此一来，大家注意了没有：OG与BG相当于光反射．这是由于∠OGD与∠BGC的正切值均为3．12图（6）镜面为CD,满足光反射，通常反向延长，得到在一条直线上．由上立马得到GB＝GP，这一点非常关键．因此要求△BFG的周长，就只要求BF＋FP的长．由此简化了原问题．三、“2316模型”其实，“12345”这些问题，在哈尔滨地区研究得最多．他们甚至研究到“2316模型”我也是刚刚不久，在与刘俊勇老师共同揣摩下，才自认为有点熟悉了所谓“2316模型”所谓的“2316”模型，是指两个基本图形：模型1．231；模型2．236大家有没有注意，∠B＋∠C＝45°，就是纪博士今天讲解的内容．对于“231模型”，仅仅了解这一点还是不够的．还要了解外围大三角形三边长之间的关系．而这并不是一件困难的事情．即三边之比为5:5:10，当然可以进一步约分．所谓的“236模型”是指这个图形．这里就不展开了．四、发起总攻！图（7）请大家看这个图形，△FBP就是标准的“231模型”．图（7）13这是由于∠FBP的正切值为1/2，∠FPB的正切值为1/3．下面发起总攻！BP＝12，占5份，一份是多少？当然是12/5．在这种情况下，BF＋FP是多少份？当然是“根10＋根5”份了，那么BF＋FP是多少呢？当然也就是△BFG周长＝BF＋FP＝12(105)5！21．已知一次函数的图像经过A(-2，-1)、B(1，3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D,求一次函数解析式，求tan∠OCD的值,求∠AOB的度数．22．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点D是腰CA上一动点，过点C作CE垂直BD的延长线，垂足为E，(1)如图（1），若BD是AC的中线，求的值BDCE；(2)如图（2）若1ADACn,求BDCE的值．23（2016•常州一模