概率论第七章参数估计

第七章参数估计§7.1点估计一.问题的提法:1212X(;),,,,nnFxθXXXXx,x,,x设总体的分布函数的形式为已知是待估参数，是的一个样本，是相应的一个样本观测值。)(ˆ),,,(ˆ),,,(ˆ),,(ˆ21212121的估计值。为参数称的估计量，为，我们称来估计未知参数，用它的观察值一个适当的统计量点估计问题就是要构造nnnn,x,,xxXXXxxxXXX二、矩估计法:kkPnikikαEXXnA11由辛钦大数定理可知：样本的原点矩依概率收敛到总体的原点矩，即据此，得到参数的矩估计法。为未知参数）（其中，的分布函数为设总体kkθθθθθθxFX,,),,;(2121的样本，是来自XX,,XXn21定义：1122ˆ(,,,(,,,)(1,2),,)2,1,,,rkrnrrXXXrrkkA方程组的解为的矩估计量。121=(,,,)1=,1,2,,rrknrrikiEXEXrAXrrkn假设存在为总体的阶原点矩；；为样本的阶原点矩。1212122,,,(,),nXXXU例.已知为来自总体的样本，求的矩估计。222121X,,,,nXXX例.设总体的均值及方差都存在，但均未知，又设是一个样本，求的矩估计。||1214.~(,)2(,,,)xnXfxexXXXX例设总体，是来自总体的样本，求的矩估计。2221222223.(,,,)~(,),0(,)0,0nxXXXXfxxexfxx例设是来自总体的样本，其中求的矩估计。三、极大似然估计方法:,,,,,,),,,;(~n212121的一个样本是的参数待估计是其中定义：总体XXXXxfXkk12121(,,)(;,,).nkikiLfX称为样本的似然函数121,,,.k似然函数是参数的函数说明为密度函数。为连续型随机变量时，为分布律；为离散型随机变量时，)()(2xfXxfX。即似然函数的值比较大的概率比较大可以认为取到这组值已经发生的随机事件它是是一组样本值容易发生的事件概率大的事件比概率小根据经验,,,,,21n,x,,xx理论依据12121212,,,,,,,ˆˆˆ,,,,,,nkkkx,x,,xLL对似然函数而言是常数它是参数的函数因而是参数值使得较大我们就将使得取到最大值的参数值称为的极大似然估计值。121212ˆ:(,,,)(,,,)ˆ,ˆ(,,,)(1,2,,)kiniiiniLxxxXXXik定义如果似然函数在处取最大值则称为的极大似然估计值，而相应的统计量称为参数的极大似然估计量。极大似然估计的求解方法:2.直接根据定义计算。1.求解对数似然方程：12ln(,,,)0.(1,2,,)kiLik若驻点唯一，即为极大似然估计。1125~(,)(1)0,1(,,,)xxnXfxpppxXXXXp例.设，；是来自的样本，求参数的极大似然估计。126,,,()nXXXe例.已知为来自总体的样本，求的极大似然估计。221227(,),,,,,.nX~NX,X,X例.设总体其中均未知设是来自该总体的一组样本求的极大似然估计例8.设总体X服从[0,]区间上的均匀分布,求的极大似然估计。例9.设总体X服从[θ,θ+1]区间上的均匀分布,求的极大似然估计。极大似然估计的性质:(),ˆ(),,,ˆˆ()()uuuuuuu设的函数具有单值反函数是参数的极大似然估计则是的极大似然估计。例如，例8中参数θ的方差DX的极大似然估计为：222ˆ1max{}121212iDXX§7.2.估计量的评选标准:,.无偏估计的性有效性三个常用标准和一致性是1、无偏性:12nˆˆˆ(,,,)()ˆ,,ˆ(),XXXEE定义：若估计量的数学期望存在且对于有则称是的无偏估计量。的渐近无偏估计。为，则称若ˆˆlimEn例2.X1,X2,…,Xn是来自X~U(0,θ)的样本，证明：都是θ的无偏估计。},,,max{1ˆ,2ˆ2121nXXXnnX2、有效性:.ˆˆ)ˆ()ˆ(ˆˆ:212121有效比称则，，若有若定义DDEE所有无偏估计中方差最小的无偏估计称为最小方差无偏估计，或称为有效估计。例3.对任何总体X，EX=μ，DX=σ2,X1,X2,…,Xn是来自X的样本，证明：比有效。1ˆ2ˆ1211ˆˆ,.(1)nniiiiiiXX为常数,.ˆ)(1)ˆ(的无偏估计）（或称为达到方差下界的有效估计，为，则称若nID1()ˆlim1,ˆ()nInD若则称为的渐近有效估计。信息数。称为其中下界）（则，，若定理：总体FisherXfEIRGnIDExfX2)],(ln[)()(1)ˆ(ˆ);(~212225.X,X(,),ˆ:1Xˆ2nnNS例设，为正态总体的样本证明是的有效估计；＝是的渐近有效估计。1124~(;)(1),0,1,,,ˆxxnXfxpppxXXXXpXp例.总体，为来自的样本，证明：是参数的有效估计。3、相合性（一致估计）:ˆ:,0,ˆlim0,ˆ.PnP定义若即对则称为的相合估计量根据辛钦大数定理，样本原点矩依概率收敛于相应的总体原点矩,从而样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数，所以所有的矩估计都是相合估计量。说明12++ˆˆˆ,,,-ˆˆliml,im0nnnXXXbEDDb：设是的估计量，为估计偏差，存在。如果则是的定理相合估计量。2122226,,(,),nnXXNXSB例.为正态总体的样本证明：为的相合估计；为的相合估计；为的相合估计。§7.3区间估计112~(;),,ˆˆˆ(01):Xfx设总体其中参数未知若对于给定的值，统计量和满足定义:1212ˆˆ(,)1ˆˆ,11()则称随机区间是的置信度为的置信区间和分别称为置信度为的置信上限和置信下限，称为置信度置信水平。12ˆˆ()1P说明2.置信区间长度越短，估计越精确，一般我们是对称地取；可以证明此时的置信区间长度最短。1212ˆˆθ,θˆˆP(θθθ)=1-α1.置信区间的定义中，统计量满足条件即可，所以置信区间并不唯一。212ˆˆ()()PP12123.(,,,;)ˆˆ1naZXXXb根据不等式解得这就是的置信度为－的置信区间。1221,,,{(,,,;)}1nabPaZXXXb.对于给定的置信度求出使得求置信区间的一般思路（枢轴量法）1.构造一个随机变量Z=Z(X1,X2,…,Xn;),除参数外,Z不包含其他任何未知参数,Z的分布已知(或可求出),并且不依赖于参数,也不依赖于其他任何未知参数。（Z称为枢轴量）§7.4.正态总体参数的区间估计一、单个正态总体参数的区间估计:2122~(,),,,,1nXNXXXX设总体是来自的样本，求,的－置信区间。7.4正态母体参数的置信区间已知2XUn22,XuXunn)1,0(N未知2nSXT/22,SSXtXtnn)1(nt被估条件选用分布1－α的置信区间参数枢轴量已知212niiX)(2n221122122()(),()()nniiXXnn2222)1(Sn)1(2n2222122(1)(1),(1)(1)nSnSnn未知说明1.通常我们讲的都是双侧的置信区间，实际中还有单侧的置信区间，如书上的定义。2.若函数g(x)单调增，则：1))ˆ()()ˆ((1)ˆˆ(2121gggPP若函数g(x)单调减，则：1))ˆ()()ˆ((1)ˆˆ(1221gggPP例1：设某异常区磁场强度服从正态分布，现对该区进行磁测，按仪器规定其方差不得超过0.01，今抽测16个点，算得问此仪器工作是否稳定？2(,)N212.7,0.0025,XS例2：设样本为正态分布的样本，其中μ和为未知参数。设随机变量L是关于μ的置信度为1-α的置信区间的长度，求。12,,,nXXX2(,)N22()EL例3：设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0、5.7、5.8、6.5、7.0、6.3、5.6、6.1、5.0.设干燥时间总体服从正态分布，求：（1）σ为0.6时，μ的置信度为0.95的单侧置信上限。（2）σ为未知，μ的置信度为0.95的单侧置信上限。2(,)N例4：随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差为S＝11（m/s），设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间。二、两个正态总体的区间估计:.,.1212221的置信区间求已知时和当.,,.221222221的置信区间求未知但2211221212~(,),~(,),,,,,,mnXNYNXXXXYYYY，相互独立，为来自的样本，为来自的样本..32221的置信区间求三、两个正态总体中统计量的分布的样本）为来自（的样本，）为来自（，相互独立，YYYYXXXXNYNXnm,,,,,,),(~),,(~2121222211niinniimiimmiiYYnSYnYXXmSXmX1222112211)(11,1)(11,1令211111~,,~(0,1)mmXXNN即221212122212~(,)()~(0,1)mnXYNXYUNmn即)(~)(~22212222111nYmXniimii，1222121(-1)~(-1)mmmSXSm与独立，且)(~221222111nmYXniimii122222212(-1)(-1)~(-2)mnmSnSmn113~(1)mSmXtm12122212()~(2)11(1)(1)2mnXYtmnSmnmSnSSmn当时，其中),(~)()(42122122121nmFYXmnFniimii)1,1(~21222221nmFSSFnm用表格表示如下：222112,已知22111122/21/22211()()11,(,)(,)()()mmiiiinniiiiXXnnmFmnmFmnYY已知2221,2222121222,XYuXYumnmn未知21221111,XYtSXYtSmnmn参数条件1－α的置信区间2112,未知221122/21/22211,(1,1)(1,1)SSFmnFmnSS例5：设两位化验员A、B独立地对某种聚合物含氯量用同样的方法各作10次测定，其测定值得样本方差依次为设分别为A、B所测定的测定值总体的方差，设总体为正态的。求：（1）方差比的置信度为0.95的置信区间。（2）方差比的