椭圆双曲线的离心率专题

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资源描述

在圆锥曲线的诸多性质中,离心率经常渗透在各类题型中。离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据,在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起,有很强的可考性。其中求离心率的取值范围,综合性强,是解析几何复习的一个热点,也是难点。下面我总结了几种求解这类问题的方法.1、根据条件先求出a,c,利用e=ca求解例1.(2014年北京)已知椭圆2224xy,求椭圆离心率的值题型一:求离心率的值:解析:椭圆化成标准方程为22142xy由定义知2,2ab则∴2c所以离心率e=ca=221、根据条件先求出a,c,利用e=ca求解题型一:求离心率的值:解析:先化成标准方程2213yx∴a=1,c=2,所以离心率e=ca=2.练习、已知双曲线2233yx,求双曲线的离心率的值。例2:在平面直角坐标系中,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2c,以O为圆心,a为半径作圆,过点(a2c,0)作圆的两切线互相垂直,则离心率e=.PBAOyx2.利用已知条件建立a,c的等量关系)0,0(12222babyax例3、已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是直角三角形,求该双曲线离心率的值。2.利用已知条件建立a,c的等量关系:211222222221212bAFFFcabaccaaceee解:由有即:练习2、(2013·杭州质检)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,渐近线分别为l1,l2,点P在第一象限内且在l1上,若l2⊥PF1,l2∥PF2,则双曲线的离心率是().A.5B.2C.3D.22.利用已知条件建立a,c的等量关系答案B解析如图,由l2⊥PF1,l2∥PF2,可得PF1⊥PF2,则|OP|=12|F1F2|=c,设点P的坐标为m,bam,则m2+bam2=cam=c,解得m=a,即得点P的坐标为(a,b),则由kPF2=ba-c=-ba,可得2a=c,即e=ca=2.2.利用已知条件建立a,c的等量关系例4.设P点是椭圆上一点,F1、F2为椭圆的左右焦点,如果∠F1PF2=900,求此椭圆的离心率的取值范围。XYOPF1F2问题的关键是寻找a、c的不等关系22221(0)xyabab题型二:求离心率的取值范围:思路1:巧用图形的几何特性1290FPF12||2FFc2222cbcbac由此可得,)e[221由,知点P在以为直径的圆上。又点P在椭圆上,因此该圆与椭圆有公共点P故有XYOPF1F2212aPFPF||||2221212222212124||||2||||2(||||)2||8aPFPFPFPFPFPFFFc得ca2212所以有,)e[221思路2:利用基本不等式两边平方后得:由椭圆的定义有:B2B1F1yxOF2PPFFPFF1221,,由正弦定理有1212121212||||||||sinsinsin90||||2||2112sincos22sin()4PFPFFFFFPFPFaFFccea又,,则有212e从而可得思路3:利用三角函数有界性设B2B1F1yxOF2P||||||||||||PFPFaPFPFPFPFa121222122224222212121222121222290||||||4||||2()||||22()0FPFPFPFFFcPFPFacPFPFuauac又由,知则可得这样,与是方程的两个实根,因此2222221248()022caaceea因此,e[)221思路4:利用二次方程有实根由椭圆定义知练习、已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点分别为F1,F2,若该椭圆上存在一点P,使得∠F1PF2=60°,则椭圆离心率的取值范围是.B2B1F1yxOF2P题型二:求离心率的取值范围:分析:如果我们考虑几何的大小,我们发现当P为椭圆的短轴的顶点B1(或B2)时∠F1PF2最大(需要证明),从而有0<∠F1PF2≤∠F1B1F2.根据条件可得∠F1B1F2≥60°,易得ca≥12.故12≤e<1.B2B1F1yxOF2P总结:1.圆锥曲线离心率的问题,通常有两类:一是求椭圆和双曲线的离心率;二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围。2.一般来说,求椭圆(或双曲线)的离心率,只需要由条件得到一个关于基本量a,b,c,e的一个方程,就可以从中求出离心率.3.一般来说,求椭圆(或双曲线)的离心率的取值范围,通常可以从两个方面来研究:一是考虑几何的大小,例如线段的长度、角的大小等;二是利用椭圆(或双曲线)本身的范围,列出不等式.谢谢大家!

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