上海初一下数学-实数讲义

1第一节实数的概念认识新知识实数{有理数{正有理数零负有理数}有限小数或无限循环小数无理数{正无理数负无理数}无限不循环小数知识点1：无理数的概念及特征1.无限不循环小数叫做无理数，无理数可分为正无理数与负无理数，如√2，√3，π是正无理数；−√2，−√7，−π2是负无理数。【注意】有理数是指有限小数和无限小时，而无理数包括：开方开不尽得数，如√2，−√7，√33，…；有特定意义的数，如π以及含π的数；有一定结构的无限小数，如1.010010001…；无限不循环小数2．无理数的特征1)无理数的小数部分是无限的2)无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.【注意】“无限循环小数”和“无限不循环小数”的异同：相同之处是它们都是小数，不同之处是前者能化成分数（有理数），用ba（a≠0）的形式来表示；后者不能化成分数形式，为无理数.2知识点2：实数的定义1.有理数和无理数统称为实数2.实数的分类：1)按定义分类实数{有理数{正有理数{正整数正分数零负有理数{负整数负分数}有限小数或无限循环小数无理数{正无理数负无理数}无限不循环小数2)按大小分类实数{正实数零负实数【注意】零是特殊的有理数，它既不是正有理数，也不是负有理数.引进无理数后，在实数中，零仍是一个特殊的数，它既不是正实数，也不是负实数.3例题分析1.尝试说明2是一个无限不循环小数.尝试完成以下填空：假设2是一个有理数，设)0,(2qqpqp表示整数且互素，同时，等式两边分别平方，可以得到2=，则2p=，由此可知p一定是一个（填“奇”或“偶”）数，再设p=2n(n表示整数)，代入上式，那么2q=，同理可知q也是.这时发现p、q有了共同的因数2，这与之前假设中的“”矛盾.因此假设不成立，即2不是，而是无限不循环小数.2.将下列各数填入适当的括号内：0、-3、2、6、3.14159、722、5、π、0.3737737773….有理数：﹛﹜；无理数：﹛﹜；正实数：﹛﹜；负实数：﹛﹜；非负数：﹛﹜；整数：﹛﹜.3.判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)无限小数都是无理数；(2)无理数都是无限小数；(3)正实数包括正有理数和正无理数；(4)实数可以分为正实数和负实数两类.4.请构造几个大小在3和4之间的无理数.5.用“是”、“不是”、“统称”、“包括”、“叫做”填空，并体会这些词的含义：(1)2分数.(2)0有理数.4(3)无限不循环小数无理数.(4)实数有理数和无理数.(5)正整数、0和负整数整数.(6)有理数有限小数或无限循环小数.6.判断题a)无限小数都是无理数（）b)√93是无理数（）c)无理数中无最大值（）d)0是最小的实数（）e)绝对值最小的实数是0（）f)实数a的倒数是1𝑎（）g)无理数与有理数的和是无理数（）选择题7.下列说法中正确的是(A)正整数、负整数统称整数(B)正数、负数和零统称有理数(C)开方开不尽的数和π统称无理数(D)有理数、无理数统称实数8.如果有理数与它的倒数相等，那么这种有理数共有（）A.1个B.2个C.3个D.无数个9.下列各数−√49、3.1414926、0.131131113、−√1003中有理数的个数是（）A．0个B.1个C.2个D.3个5第二节数的开方知识点1：平方根1.平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根.用数学语言表达即为:若𝑥2=a,则x叫做a的平方根.例如,因为(±4)2=16,所以16的平方根是+4和-4（可以合写为±4），同样（±35）2=925，所以925的平方根是±35，因为02=0，所以0的平方根是0.2.平方根的性质：（1）一个正数a的平方根有两个，它们两个互为相反数（2）0的平方根是0（3）负数没有平方根3.平方根的表示方法：一个正数a的平方根有两个，我们用√𝑎表示其中正的平方根，读作“根号a”，另一个负的平方根记为−√𝑎，a的平方根合记为±√𝑎.其中“√”读作“二次根号”，a叫做被开放数，2叫做根指数，如±√𝑎2,通常将2省略不写，所以±√𝑎2可记作“±√𝑎”，读作“正负根号a”.4.开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方.6知识点2：算术平方根1.算术平方根的定义：正数a有两个平方根，其中正数a的正的平方根√𝑎叫做a的算术平方根，例如16的平方根是4和-4，其中4又叫做16的算术平方根.2.0的平方根也叫做0的算术平方根，即√0=0.3.当数a为非负数时，√𝑎表示a的算术平方根.知识点3：平方根与算术平方根的区别于联系1.区别：（1）定义不同；（2）个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；（3）表示方法不同；正数a的平方根表示为±√𝑎，正数a的算术平方根表示为√𝑎；（4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根是一正、一负.2.联系：（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，而算术平方根是平方根中正的一个；（2）存在条件相同：平方根都只有非负数才有；（3）0的平方根和算术平方根都是0.7一．例题分析：求下列各数的平方根，并根据你的解答过程总结：正数、0、负数的平方根有什么不同？（1）0.16;（2）-259;（3）0.二．性质归纳：（1）因为任何一个实数的平方都是非负的，所以负数没有平方根；（2）因为任何一对非零相反数的平方都是同一个正数，因此正数a有2个不同的平方根，记作“±a”，它们互为相反数，其中“a”表示正的平方根（也可以称算术平方根），读作“根号a”.（3）．因为0的平方等于0，所以0的平方根就是0，即：±0=0.三．问题拓展思考1：由以下计算你能否发现并总结某些规律？（1）2)3(的意义是什么？2)3(=？（2）2)3(的意义是什么？2)3(=？（3）2)3(的意义是什么？2)3(=？（4）2)3(的意义是什么？2)3(=？（5）计算：2)31(=______2)31(=______2)7(=_______2)7(=______210=_______2)10(=______.82．规律总结：（1）．2a表示a2的正平方根，因为a2≥0，所以2a=∣a|∣.（2）．2)a(表示数a的正平方根的平方，根据平方根的意义，这里的a≥0，且2)a(=a；2)a(表示数a的负平方根的平方，根据平方根的意义，必有a≥0，且2)a(=a；综上所述，（±a）2=a.思考：－4有算术平方根吗？9四、巩固练习1．下列等式是否正确？不正确的请说明理由并加以改正.（1）49=-7;（2）2)2(=2;（3）-2)5(=5;（4）81=±92．求下列各数的正的平方根：（1）225；（2）0.0001；（3）1219.3．若2m-5与4m-9是同一个数的平方根，求m的值.4.求下列各数的算术平方根⑴100⑵4964⑶0.0001⑷0⑸1245.要使代数式23x有意义，则x的取值范围是（）A.2xB.2xC.2xD.2x6.已知21a的算术平方根是3，31ab的算术平方根是4，c是13的整数部分，求2abc的算术平方根7.非负数a的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____8.1612181___,____,_____25819.16的算术平方根是_____,0.64的算术平方根____10.若x是49的算术平方根，则x=（）A.7B.－7C.49D.－4911.若47x，则x的算术平方根是（）A.49B.53C.7D53.12.若2130xyxyz，求,,xyz的值。1013.若a是30的整数部分，b是30的小数部分，试确定a、b的值。14.一个自然数的算术平方根为a，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是_______15.判断题1)a为有理数，若a有平方根，则a0.（）2)−52的平方根是±5.（）3)因为-3是9的平方根，所以√9=−3.（）4)正数的平方根是正数.（）5)正数a的平方平方根的和是0.（）6)√25=±5.（）7)−√5是5的一个平方根.（）16.若一个数a的平方根等于它本身，数b的算术平方根也等于它本身，试求ab的平方根。17.求下列各数中的x值⑴225x⑵2810x⑶2449x⑷225360x18.若521022aab，求a、b的值19.如果一个正数的两个平方根为1a和27a，请你求出这个正数11第三节立方根和开立方知识点1：立方根1.立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根.用数学式子表示为：若𝑥3=𝑎，则x叫做a的立方根或三次方根.2.立方根的表示方法:类似于平方根的表示方法，数a的立方根我们用符号“√𝑎3”来表示，读作“三次根号a”，其中a叫做被开放数，3叫做根指数.3.立方根的性质：（1）正数有一个正的立方根；（2）负数有一个负的立方根；（3）0的立方根是0；（4）一个负数的立方根等于它的绝对值得立方根的相反数.知识点2：开立方求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数.被开方数可以是正数，负数，也可以是0.开立方与立方互为逆运算.一个正数有两个平方根，但是只有一个立方根；负数没有平方根，但有一个立方根.求带分数的立方数，必须先将其化成假分数.12知识点3：平方根、算术平方根、立方根的区别与联系1.区别：(1)用根号表示平方根时，根指数2可省略不写，而用根号表示立方根时，根指数3不能省略；(2)平方根只有非负数才有，即开平方时，被开放数大于或等于0，而算术平方根式正数的平方根中正的一个，0的算术平方根是0；开立方时，被开方数可以是任意实数.立方根与平方根的区别如下表：正数0负数平方根有两个平方根0没有平方根立方根一个正的立方根0一个负的立方根2.联系：(1)都与相应的乘方运算互为运算；(2)都可归纳为非负数来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也转化为正数的立方根来求得，即√−a3=−√𝑎3；(3)0的平方根、算术平方根和立方根都是0.13巩固练习1.求－5的立方根（保留三个有效数字）2.求下列各数的立方根⑴－8⑵2764⑶125⑷819⑸610⑹3383.计算⑴364⑵3125⑶310227⑷32764⑸30.0644.张叔叔有棱长为40.25cm的两个正方体纸箱中装满了大米，他将这两箱大米都倒入了另一个新的正方体木箱中，结果正好装满，那么这个新的正方体木箱的棱长大约是多少？（结果精确到0.01cm）5.解方程⑴30.125x⑵33415360x6.31124yxx的自变量x的取值范围是（）A.1x且2xB.2xC.1x且2xD.全体实数147.当x时，4x有意义；当x时，34x有意义8.64的立方根是，238的平方根是，3512的立方根是9.－8的立方根与81的一个平方根的和等于10.一个自然数的算术平方根是a，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是，立方根是11.解下列方程⑴3512x⑵3641250x⑶31216x12.已知34x，且230yxz，求3xyz的值13.当k2时，下列各式哪些有意义？(1)−√2𝑘−1；(2)√3−2𝑘；(3)√5−3𝑘3；(4)√3𝑘−9；(5)√𝑘2−33；14.求√273的值15.分别求64与-27的立方根16.某数的立方与28的和为1，求这个数.