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第4章图形的初步认识微专题4线段与角的有关计算专题解读有关线段、角的计算问题，是几何图形的计算问题之一．有关线段的计算是指线段的和、差、倍、分及有关线段的中点的计算．有关角的计算是指角的单位换算和角的加、减、乘、除运算．熟练掌握线段和角的相关计算是学习几何的基础．专题训练类型1利用线段中点进行线段长度的计算1.如图，已知线段AB＝80cm，M为AB的中点，P在MB上，N为PB的中点，且NB＝14cm，求MP的长．解：AP＝AB－PB＝80－28＝52，AM＝12AB＝40，所以MP＝AP－AM＝12cm.2.如图，线段AB被点C、D分成了3∶4∶5三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40cm，求AB的长．解：设AC＝3x，则CD＝4x，DB＝5x.AM＝1.5x，NB＝2.5x，MN＝1.5x＋4x＋2.5x＝8x，又MN＝40，所以8x＝40，解得x＝5.AB＝3x＋4x＋5x＝12x＝60cm.3.如图，C为线段AB上一点，E为线段CB的中点，D为线段AC的中点．(1)如果AC＝6cm，BC＝4cm，试求DE的长；(2)如果AB＝a，试求DE的长度；(3)若C为线段AB的延长线上一点，且满足AC－BC＝b，D、E分别为AC、BC的中点，你能猜想DE的长度吗？写出你的结论，不需要说明理由．解：(1)因为CD＝12AC＝3cm，CE＝12BC＝2，所以DE＝CD＋CE＝5cm.(2)因为CD＝12AC，CE＝12BC，所以DE＝CD＋CE＝12AC＋12BC＝12(AC＋BC)＝12AB＝12a.(3)DE＝12b.类型2题目中无图时有关线段长度的计算(要注意已知条件下图形的多样性)4.(易错题)已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，便它等于3cm，则线段AC等于()A．11cmB．5cmC．11cm或5cmD．8cm或11cmC5.在一条直线上顺次取A、B、C三点，已知AB＝5cm，点O是线段AC的中点，且OB＝1.5cm，求线段BC的长．解：①若O在BC上，则OC＝OA＝AB＋OB＝6.5(cm)，所以BC＝OB＋OC＝8(cm)；②若O在AB上，则OC＝OA＝AB－OB＝3.5(cm)，所以BC＝OC－OB＝2(cm)．由①②知BC＝8cm或2cm.类型3角平分线的有关计算6.(2017·滨州)如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为()A．50°B．60°C．65°D．70°D7.如图所示，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC＝90°，∠1＝40°，求∠2和∠3的度数．解：∠3＝180°－∠COF－∠1＝180°－90°－40°＝50°，∠3＋∠AOE＋∠EOD＝∠3＋2∠2＝180°，所以∠2＝65°.8.如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠AOD＝84°，∠MON＝68°，求∠BOC.解：设∠BOC的度数是x，由图可知：∠AOB＋∠COD＝84°－x，因为OM平分∠AOB，ON平分∠COD，所以∠BOM＋∠CON＝12∠AOB＋12∠COD＝12(84°－x)，由∠MON＝68°，列方程为：12(84°－x)＋x＝68°，解得：x＝52°，即∠BOC的度数是52°.类型4钟表的时针与分针的夹角问题9.下列时刻中，时钟上时针与分针之间的夹角为30°的是()A．早晨6点B．下午1点C．中午12点D．上午9点B10.4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为()A．55°B．65°C．70°D．以上结论都不对B类型5与互余、互补有关的角度计算11.已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β－∠γ的值等于()A．45°B．60°C．90°D．180°C12.如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．(1)若∠DOB与∠DOA的比是2∶11，求∠BOC的度数；(2)若叠合所成的∠BOC＝n°(0＜n＜90)，则∠AOD补角的度数与∠BOC的度数之比是多少？解：(1)∠BOC＝70°；(2)反向延长OD，可知∠AOD的补角为n°，所以∠AOD补角的度数与∠BOC的度数之比为1∶1.类型6探究线段或角的数量关系13.如图①，已知线段AB＝12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是线段AC和BC的中点．(1)若点C恰好是AB的中点，则DE＝___cm；(2)若AC＝4cm，则DE＝___cm；(3)试说明无论AC取何值(不超过12cm)，DE的长不变；66(4)知识迁移：如图②，已知∠AOB＝120°，过角的内部任一点C作射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE＝60°，与射线OC的位置无关．解：(3)因为D、E分别是线段AC和BC的中点，所以DC＝12AC，CE＝12BC，所以DE＝DC＋CE＝12AC＋12BC＝12AB＝12×12＝6cm，即无论AC取何值(不超过12cm)，DE的长不变，为6cm.(4)因为OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠DOC＝12∠AOC，∠COE＝12∠BOC，所以∠DOE＝∠DOC＋∠COE＝12∠AOC＋12∠BOC＝12∠AOB，因为∠AOB＝120°，所以∠DOE＝12∠AOB＝60°，与射线OC的位置无关．