牛顿科特斯公式的特点总结

牛顿-科特斯公式niinibaxfCabxxf0)()()(d)(科特斯(Cotes)系数)(niC，特点：Cotes系数仅取决于n和i，可通过查表得到。与被积函数f(x)及积分区间[a,b]均无关。n=1:21,21)1(1)1(0CC为梯形求积公式)]()([2)(bfafabdxxfba梯形求积公式的几何意义：用梯形面积近似代替曲边梯形的面积梯形公式的余项为)(12)(3fab代数精度=1n=2:61,32,61)2(2)2(1)2(0CCCSimpson求积公式（为抛物线求积公式）)]()(4)([6)(2bffafabdxxfbaba辛普森公式的余项为)()2(180)4(4fabab代数精度=3-0.500.511.500.511.522.533.544.5n=4:科特斯(Cotes)求积公式（五点公式）)](7)(32)(12)(32)(7[90)(43210xfxfxfxfxfabdxxfba4/)(,abhhiaxi柯特斯公式的余项为)()4(495)(2)6(6fabab柯特斯公式具有5次代数精度科特斯系数具有以下特点：(1)10)(niniC(2))()(ninniCC(3)当n8时，出现负数，稳定性得不到保证。而且当n较大时，由于Runge现象，收敛性也无法保证。一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式。当n7时，牛顿-科特斯公式是稳定的。当n为偶数时，牛顿－科特斯公式至少有n+1阶代数精度。牛顿-柯特斯公式的舍入误差只是函数值误差的倍)(ab复化求积公式特点固定时1而节点个数,的长度较大],[当积分区间nba直接使用牛顿-柯特斯公式余项将会较大增加时1即,而如果增加节点个数n当n8时，公式的舍入误差又很难得到控制此时，使用复化方法，分成若干个子区间],[即将积分区间ba然后在每个小区间上使用低阶牛顿-柯特斯公式，最后将每个小区间上的积分的近似值相加，这种方法称为复化求积法复化梯形求积公式nbaTdxxf)()()(2)(211bfxfafhnkk复化梯形公式余项为)(12)(2fhab误差是2h阶banhndxxfT)(lim0即复化梯形公式是收敛的复化辛普森求积公式nbaSdxxf)()]()(2)(4)([6111021bfxfxfafhnkknkk公式的余项为复合,足够大时则SimpsonnnnSIfR)(bafhab,),(2180)4(4误差是h4阶，banhndxxfS)(lim0复化辛普森公式是收敛的复化柯特斯求积公式nbaCdxxf)()](7)(14)](32)(12)(32[)(7[901110434241bfxfxfxfxfafnabnkknkkkk公式的余项同样可得复合],,[)(若6CotesbaCxfnCI)(4945)(2)6(6fhabn时，复化柯特斯公式也是收敛的],[ba三种复化公式的的余项nTInkkfhh02)(12)(2hOnSInkkfhh0)4(4)(2180)(4hOnCI)(494520)6(6nkkfhh)(6hO阶无穷小量6，4，2的分别是h的速度依次更快趋于定积分,,即ICSTnnn