1模糊数学绪论1•产生1965年,L.A.Zadeh(扎德)发表了文章《模糊集》(FuzzySets,InformationandControl,8,338-353)•基本思想用属于程度(隶属度)代替属于或不属于。如某员工属于优秀的程度为0.6,属于良好的程度为0.2,属于一般的程度为0.1,属于较差的程度为0.1。2一、经典集合与模糊集合模糊集合.uAA.uAuAu非此及彼3亦此亦彼UA模糊集合,~A元素u若x位于A的内部,则用1来记录,若x位于A的外部,则用0来记录,若x一部分位于A的内部,一部分位于A的外部,则用x位于A内部的长度来表示u对于A的隶属程度。模糊集合4定义:设U是论域,称映射]1,0[)(],1,0[:~~uuUAA确定了一个U上的模糊子集。映射称为隶属函~A~A~A数,称为对的隶属程度,简称隶属度。)(~uAu~A)(~uA越接近于0,表示x隶属于A的程度越小;)(~uA越接近于1,表示x隶属于A的程度越大;)(~uA=0.5,最具有模糊性,过渡点模糊集合5模糊子集通常简称模糊集,其表示方法有:(1)Zadeh表示法nnuuAuuAuuAA)()()(2211这里表示对模糊集A的隶属度是。iiuuA)(ix)(iuA(2)序偶表示法nnuuuA,,...,,,,2211模糊集合6(3)向量表示法nA,...,,,4321(4)积分表示法若论域U为无限集,其上的模糊集表示为:UuAuuA)(模糊集合7例1.有100名消费者,对5种商品评价,结果为:54321,,,,xxxxx81人认为x1质量好,53人认为x2质量好,所有人认为x3质量好,没有人认为x4质量好,24人认为x5质量好则模糊集A(质量好)5432124.00153.081.0xxxxxA模糊集合8例2:考虑年龄集U=[0,100],O=“年老”,O也是一个年龄集,u=20∉A,40呢?…札德给出了“年老”集函数刻画:10050))550(1(5000)(12uuuuO10U50100模糊集合9再如,Y=“年轻”也是U的一个子集,只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样,札德给出它的隶属函数:10025))525(1(2501)(12uuuuY1050U模糊集合10二、模糊集的运算定义:设A,B是论域U的两个模糊子集,隶属函数包含:uuBABA并集:uuuBABA交集:uuuBABA余集:uuAcA1表示取大;表示取小。模糊集合的运算12并交余计算的性质1.幂等律,,AAAAAA2.交换律,,ABBAABBA3.结合律CBACBACBACBA)()(,)()(4.吸收律(),()AABAAABA模糊集合的运算136.同一律AUAUUAAAA,,,7.还原律,)(AAcc8.对偶律,)(,)(ccccccABBABABA5.分配律)()()(),()()(CABACBACABACBA模糊集合的运算14一、模糊集合的λ水平截集定义:设A为论域U上的模糊集合,对任意的1,0称普通集合UuuuuAA,为A的λ水平截集。λ水平截集15示例:气象部门对上周天气进行综合评价,得出上周七天对于好天气的隶属度如下:星期天星期六星期五星期四星期三星期二星期一天气1.02.03.06.07.08.09.0现在限定λ=0.6水平截集为好天气,则好天气的普通集合为:三,星期四星期一,星期二,星期好天气λ水平截集16隶属函数的确定隶属函数与概率的共同点:•都是针对不确定现象•都是用0,1区间度量不确定性模糊数学和概率论的本质区别:•概率论研究随机现象,是由于条件不充分而导致对象的不确定性,是对“因果律”的突破;•模糊数学研究模糊现象,是由于外延模糊不清而引起对象的不确定性,是对“排中律”的突破。171、模糊统计法模糊统计试验的四个要素:(1)论域U;(2)U中的一个固定元素;0u(3)U中的一个随机运动集合;*A(4)U中的一个以作为弹性边界的模糊子集A,*A制约着的运动。可以覆盖也可以不覆盖*A*A,0u,0u致使对A的隶属关系是不确定的。0u隶属函数的确定18特点:在各次试验中,是固定的,而在随机变动。0u*A模糊统计试验过程:(1)做n次试验,计算出nAuAu的次数的隶属频率对*00(2)随着n的增大,频率呈现稳定,此稳定值即为nAuun的次数*00lim)(0u对A的隶属度:隶属函数的确定19对129人进行调查,让他们给出“青年人”的年龄区间,18-2517-3017-2818-2516-3514-2518-3018-3518-3516-2515-3018-3517-3018-2518-35┅┅┅┅┅15-3018-3017-2518-2918-28问年龄27属于模糊集A(青年人)的隶属度。0u隶属函数的确定20对年龄27作出如下的统计处理:A(27)=0.78n10203040506070隶属次数6142331394753隶属频率0.600.700.770.780.780.780.76n8090100110120129隶属次数6268768595101隶属频率0.780.760.760.750.790.78隶属函数的确定212、指派方法这是一种主观的方法,但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布,然后根据测量数据确定分布中所含的参数。一般会有一些大致的选择方向:偏大型,偏小型,中间型。•偏小型:适合描述“小”“少”“冷”“浅”“疏”“青年”等•偏大型:适合描述“大”“多”“热”“深”“密”“老年”等•中间型:适合描述“中”“不太多”“不太深”“不太浓”“暖和”“中年”等处于中间状态的模糊现象。隶属函数的确定22常用的模糊分布23隶属函数的确定243、其它方法德尔菲法:专家评分法;(1)选择专家;(2)确定影响债权价值的因素,设计价值分析对象征询意见表;(3)向专家提供债权背景资料,以匿名方式征询专家意见;(4)对专家意见进行分析汇总,将统计结果反馈给专家;(5)专家根据反馈结果修正自己的意见;(6)经过多轮匿名征询和意见反馈,形成最终分析结论。隶属函数的确定25隶属函数的二元对比排序法相对比较法:设nu,...u,uU21上的模糊集合A代表某种特性,建立任意两元素关于A的二元比较级(),满足:。其中代表相对于而言,具有特性A的程度。建立相及矩阵有取C中各行最小值作为对应元素的隶属度,即由此建立U上模糊集合A的隶属函数。ifjjfi1,0ifjfjijfiiujunnijcC1,maxiiijjijcjfififcijiAcumin26隶属函数的二元对比排序法算例有B市、S市和T市三支代表队参加烹饪大赛,即U={B队(x),S队(y),T队(z)},A=“厨艺高”,求A的隶属函数。1.建立相对比较级大赛评委对U中各元素两两相互评分,去掉最高分和最低分取平均值获得如下结果:9.0,5.0,4.0,8.0,7.0,8.0,xfzfzfyfyfxfzxyzxy27隶属函数的二元对比排序法2.建立相及矩阵218.04.0,max959.05.0,max18.08.0,max878.07.0,max19.09.0,max18.08.0,maxyfzfzfcxfzfzfczfyfyfcxfyfyfczfxfxfcyfxfxfczyyzyzxxzxyzzyzyxxyxxzzxzxyyxy28隶属函数的二元对比排序法可得相及矩阵3.求隶属函数对各行取最小值得隶属函数121951187111zzzyzxyzyyyxxzxyxxcccccccccCzyxA2187129隶属函数的二元对比排序法择优比较法类似于抽样调查,适用于被调查者只能做两两比较,难于给出总体各个元素的顺序,与相对比较法不同得是,在两两比较的过程中被调查者不必评分,只要给出心目中的最优即可。算例调查观众对五种球赛的喜爱程度。该课题论域为U={排球赛(1),篮球赛(2),足球赛(3),乒乓球赛(4),羽毛球赛(5)}。A=“喜欢”在观众中随机抽取100人,对球赛做两两对比,每人做20次选择,形成下表。30隶属函数的二元对比排序法12345总和%顺序1925512210637518.752210888748635617.84314511216515057228.61478126359533416.755941145010536318.53总和2000100羽毛球赛乒乓球赛足球赛篮球赛排球赛185.0167.0286.0178.01875.0A31隶属函数的二元对比排序法对比平均法建立U中任意两元素关于A的二元相对比较级得到相对比较级矩阵F按照下式确定各元素隶属度式中为权,满足njijfifij,...,1,,,1,iijijnnijfifffFnjijjiAfWu1njWj,...,11jW32算例设论域U={x(五十铃),y(三菱),z(日野)},A=“舒适度”,求A的隶属函数。选择10名特约乘客实验,按二元比较法由乘客打分整理后有下表xyzx10.830.70y0.1710.68z0.300.321表汽车舒适性调查隶属函数的二元对比排序法33其中对日野汽车的偏爱程度比较大,权重为0.4,其余两种汽车等权重为0.3,得隶属函数为65.0132.030.04.056.068.0117.03.076.070.083.013.0zyxAAAzyxA65.056.076.0隶属函数的二元对比排序法34优先关系排序法设论域U={u1,u2,u3,u4...un},以Cij表示ui与uj相比是ui的优越程度,有Cii=0。其中0≤Cij≤1且Cij+Cji=1可得模糊矩阵称为优先关系矩阵。给定λ∈[0,1],得C的λ截矩阵,当Cij≥λ,=1反正为0。另λ从0到1变化,当矩阵首次出现某行元素除对角线外均为1时,则认为该行为第一优越(不一定唯一)。删去第一优越元素后,用同样的方法可以得到第二、第三等优越元素。隶属函数的二元对比排序法nnijCCijCCijC35乘坐感觉特好很好稍好相同稍差很差特差分值10975310算例设论域U={x(五十铃),y(三菱),z(日野)},A=“舒适度”。挑选10名司机将参加测评的车辆两两编组,在驾驶一段时间后对汽车的舒适度进行打分。评分结果分组10975310对象车总分优先选择比1,2325830.831,35212700.701,41531790.792,3352680.682,41252690.693,4622740.74隶属函数的二元对比排序法36定义模糊关系的定义所谓A,B两集合的直积中的一个模糊关系R,是指以为论域的一个模糊子集,序偶的隶属度为一般地,若论域为n个集合的直积,则它所对应的是n元模糊关系R,其隶属度函数为n个变量的函数。显然当隶属度函数值只取“0”或“1”时,模糊关系就退化为普通关系。BbAabaBA,),(BA),(ba。),(baRnAAA21),,,(21nRaaa模糊关系37假设物品之间完全相似者为“1”、完全不相似者为“0”,其余按具体相似