正交矩阵,相似矩阵与二次型的转化

先来看看什么是正交矩阵：方阵A为正交矩阵的充分必要条件为A的列向量/行向量都是单位向量，且两两正交。相似矩阵的定义：此时若B矩阵为对角阵，则称矩阵A可对角化。那么此时我们要求的相似变化矩阵P应该满足什么条件呢？假设把P用其列向量表示为：那么由，两边同时左乘P得，即得：于是得：由该定理相应得到下面的推论：注意：该推论表示n阶矩阵A的n个特征值互不相等，即有n个线性无关的特征向量，故A可对角化。但是n个特征值中如果有m重根时，但对应的m重根有m个线性无关的特征向量，也可得到A可对角化。由该定理相应得到下面的推论：二次型的定义：经过可逆的线性变化：使二次型只含平方项：这种只含平方项的二次型称为二次型的标准型（或法式）。而如果二次型的系数只在1、-1、0三个数中取值，即则称为二次型的规范形。下面为将二次型转换为二次型的标准形需要用到合同的概念，合同的定义为：正定、负定二次型的定义：