正切函数图象

正切函数1.正切函数的图像(1)根据tan(x+π)=)cos()sin(xx=xxcossin=tanx(其中x≠kπ+2,k∈Z)推出正切函数的周期为π.(2)根据tanx=xxcossin,要使tanx有意义，必须cosx≠0,从而正切函数的定义域为{x｜x≠kπ+2,k∈Z}(3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x∈(-2,2).利用单位圆中的正切线，通过平移，作出y=tanx,x∈(-2,2)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x≠kπ+2(k∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示.y=tanx2.余切函数的图像如下：y=cotx3.正切函数、余切函数的性质：正切函数y=tanx余切函数y=cotx定义域{x｜x∈R且x≠kπ+2,k∈Z}{x｜x∈R且x≠kπ,k∈z}值域RR周期性ππ奇偶性奇奇单调性每个区间(kπ-2,kπ+2)上递增(k∈Z)每个区间(kπ,(k+1)π)上递减(k∈Z).注：正切函数在每一个开区间(kπ-2,kπ+2)(k∈Z)内是增函数，但不能说成在整个定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此.【重点难点解析】本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切线作.因y=tanx定义域是{x｜x∈R,x≠kπ+2,k∈Z}，所以它的图像被平行线x=kπ+2(k∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的.1.正切函数应注意以下几点：(1)正切函数y=tanx的定义域是{x｜x≠kπ+2,k∈Z},而不是R，这点要特别注意：(2)正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(kπ-2,kπ+2)(k∈Z)上是连续的；(3)在每一个区间(kπ-2,kπ+2)(k∈Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数.2.解正切不等式一般有以下两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域.例1作出函数y=｜tanx｜的图像，并根据图像求其单调区间.分析：要作出函数y=｜tanx｜的图像，可先作出y=tanx的图像，然后将它在x轴上方的图像保留，而将其在x轴下方的图像向上翻(即作出关于x轴对称图像)，就可得到y=｜tanx｜的图像.解：由于y=｜tanx｜=tanx,x∈Z［kπ,kπ+2］-tanx,x∈(kπ-2,kπ)(k∈Z)所以其图像如图所示，单调增区间为［kπ,kπ+2)(k∈Z);单调减区间为(kπ-2,kπ］(k∈Z).说明：根据图像我们还可以发现：函数y=｜tanx｜的最小正周期为π.一般地，y=A｜tan(ωx+φ)｜的最小正周期与y=Atan(ωx+φ)的最小正周期相同，均为.例2求函数y=lg(tanx-3)+3cos2x的定义域.解：欲使函数有意义，必须tanx＞3,2cosx+3≥0,x≠kπ+2(k∈Z)由此不等式组作图∴函数的定义域为(kπ+3,kπ+2).评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合.三角函数线法则是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域.例3求函数y=tan(2x-3)的单调区间.解：y=tanx,x∈(-2+kπ,2+kπ)(k∈Z)是增函数.∴-2+kπ＜2x-3＜2+kπ,k∈Z.即-12+2k＜x＜125+2k，k∈Z函数y=tan(2x-3)的单调递增区间是(-12+2k,125+2k).(k∈Z)例4求函数f(x)=tan(2x+3)的周期.解：因为tan(2x+3+π)=tan(2x+3)即tan［2(x+2)+3］=tan(2x+3)∴tan(2x+3)的周期是2.例5求函数y=3tan(2x+3)的对称中心的坐标.分析：y=tanx是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(2k,0)(k∈Z).函数y=Atan(ωx+φ)的图像可由y=tanx经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为图像与x轴交点.解：由2x+3=2k,(k∈Z)得x=4k-6(k∈Z)∴对称中心坐标为(4k-6,0)(k∈Z)注意：函数y=Atan(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图像及性质可与函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图像及性质加以比较研究.【难题巧解点拔】例判断函数f(x)=tan(x-4)+tan(x+4)的奇偶性，并求此函数的周期及单调区间.分析：奇偶性的判断必须考虑①定义域是否关于原点对称.②是否对任意x有f(-x)=-f(x)，或f(-x)=f(x)成立；关于周期和单调性必须将函数化为一个三角函数的形式方可求.解：此函数的定义域为{x｜x∈R且x≠kπ+4,k∈Z}它是关于原点对称.又f(-x)=tan(-x+4)+tan(-x-4)=-tan(x-4)-tan(x+4)=-f(x)故此函数是奇函数.y=tan(x-4)+tan(x+4)=tan［(x-4)+(x+4)］［1-tan(x-4)tan(x+4)］=tan2x［1+cot(x+4)tan(x+4)］=2tan2x∵sin(2-a)=cosacos(2-a)=sina∴tan(2-a)=cotacot(2-a)=tana故tan［2-(x+4)］=cot(x+4)即-tan(x-4)=cot(x+4)周期为2当kπ-2＜2x＜kπ+22k-4x＜x＜2k+4(k∈Z)即x∈(2k-4,2k+4)时，原函数是增函数.评析：此题的难点在于通过三角恒等化简，将函数化为一个三角函数.同时要求同学们必须熟悉正切函数的性质.y=Atan(ωx+φ)(A≠0)的周期为T=.例2已知)]6cos(9211lg[x≤1,求函数y=cot2x-2cotx+5的值域.分析：从已知条件的不等式中解出cotx的范围，然后在此条件下求被求函数的值域.解：由已知条件，可得0≤lg［211-9cos(x+6)］≤1.得-21≤cos(x+6)≤21∴kπ+3≤x+6≤kπ+32,k∈Z.∴kπ+6≤x≤kπ+2,k∈Z.∴0≤cotx≤3y=cot2x-2cotx+5=(cotx-1)2+4∴当x=kπ+4,k∈Z时，y取最小值4.当x=kπ+2,k∈Z时，y取最大值5.从而函数y=cot2x-2cotx+5的值域是［4,5］.【典型热点考题】例1满足tanα≥cotα的角的一个取值区间是()A.(0，4)B.［0，4］C.［4，2］D.(4，2)分析：本考查正切函数单调性，应化同名函数，再化角为同一单调区间内.解：由选择项，可以考虑α∈(0，2)的性况.∵tanα≥tan(2-α),且α,2-α∈(0,2)∴α≥2-α,∴4≤α＜2.故选C.例2函数y=xx2tan12tan122的最小正周期是()A.4B.2C.πD.2π解法1：将四个选项分别代入函数式验算，可知B正确.∴应选B.解法2：y=xx2tan12tan122=cos4x∴T=42=2∴应选B.例3函数y=x21log2+xtan的定义域是.解：x应满足2+log21x≥0①x＞0②tanx≥0③x≠kπ+2,k∈Z④由①②得0＜x≤4⑤由③④并注意到⑤得0＜x≤40≤x＜2或π≤x＜23∴0＜x＜2或π≤x≤4.∴应填(0，2)∪[π，4]例4如果α、β∈(2,π),且tanα＜cotβ,那么必有()A.α＜βB.β＜αC.α+β＜23D.α+β＞23解：∵tanα＜cotβ＜0，∴tanαtanβ＞1.有tan(α+β)=tantan1tantan＞0有α+β∈(π，23)∴α+β＜23.∴应选C.说明：本题也可采取化为同名函数的方法，或都取特殊值比如取α=β=32,可排除A、B、D.【同步达纲练习】一、选择题1.下列不等关系中，正确的是()A.cot3＞cot4＞cot5B.cot4＞cot3＞cot5B.cot4＞cot5＞cot3D.cot5＞cot4＞cot32.下列不等式中，正确的是()A.tan74π＞tan73πB.tan(-413π)＞tan(-512π)C.cot4＜cot3D.cot281°＜cot665°3.观察正切曲线，满足条件｜tanx｜≤1的x的取值范围是(其中k∈Z)()A.(2kπ-4,2kπ+4)B.(kπ,kπ+4)C.(kπ-4,kπ+4)D.(kπ+4,kπ+43)4.函数y=tanx-cotx的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数，也是偶函数D.非奇非偶函数5.如果4＜θ＜2，则sinθ,cosθ,tanθ的大小关系是()A.sinθ＜cosθ＜tanθB.cosθ＜sinθ＜tanθC.tanθ＜sinθ＜cosθD.cosθ＜tanθ＜sinθ6.y=tanx+cotx的最小正周期是()A.πB.2C.4D.以上均不正确7.将函数y=tan2x的图像向右平移4个单位后得到的图像的解析式为()A.y=tan(2x+4)B.y=tan(2x-4)C.y=cot2xD.y=-cot2x8.若tan(2x-3)≤1,则x的取值范围是()A.2k-12≤x≤2k+247(k∈Z)B.2k-12＜x≤2k+247(k∈Z)C.kπ-12≤x＜kπ+247(k∈Z)D.kπ-12＜x＜kπ+247(k∈Z)9.函数f(x)=xxcotcot1的定义域为()A.(kπ,kπ+2),k∈ZB.(kπ-2,kπ),k∈ZC.(kπ,kπ+π),k∈ZD.以上均不正确10.下列命题中正确的是()A.y=tanx在第一象限单调递增.B.在y=cotx中，x越大，y反而越小C.当x＞0时，tanx＞0.D.以上均不正确.11.函数y=tan(21x-3)在一个周期内的图像是()12.函数f(x)=xxxx2sin2cos2sin2cos的最小正周期是()A.4πB.2πC.πD.2二、填空题1.使函数y=tanx和y=cosx同时为单调递增函数的区间是.2.满足tanα＜cotα的角α的范围是.3.函数y=3tan(21x-4)的定义域是，值域是.4.函数y=sinx+cotx的图像关于对称.三、解答题：1.求下列函数的定义域：(1)y=xxsin21)1lg(tan(2)y=)3tan(1cos2xx(3)y=2cot3x2.求函数y=tansectansec22的值域.3.求函数y=-2tan(3x+3)的定义域、值域，并指出它的周期性，奇偶性和单调性.4.已知f(x)=tan(2x-bπ)的图像的一个对称中心为(3，0)，若｜b｜＜31，求b的值.【素质优化训练】1.解不等式3tan2(2x-4)-(3-3)tan(2x-4)-3≤0.2.已知函数f(x)=tan(ωx+φ),且对于定义域内任何实数x，都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),比较tan(ωa+φ+3ω)与tan(ωa+φ-3ω)的大小.3.已知有两个函数f1(x)=asin(kx+3),f2(x)=bsin(kx-3)(k＞0)它们的最小正周期之和为2π，且f1(2)=f2(2),f1(4)=-3f2(4)+1,求a、b、k之值.4.已知关于x的一元二次方程4x2+5x+k=0的两根分别为sinθ、cosθ,(1)求k.(2)求以tanθ、cotθ为两根的一元二次方程.5.求证