正定矩阵的性质及推广论文

LUOYANGNORMALUNIVERSITY2012届本科毕业论文正定矩阵的性质及推广院（系）名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学生姓名李俊霞学号080414076指导教师黄盛讲师完成时间2012.5洛阳师范学院本科毕业论文1正定矩阵的性质及推广李俊霞数学科学学院数学与应用数学专业学号：080414076指导教师：黄盛摘要：正定矩阵是一类比较重要且应用广泛的矩阵，作为一种特殊的矩阵，当然有许多与其它矩阵不同的性质，本文首先给出了正定矩阵的若干性质.其次，给出了正定矩阵在证明不等式、求函数的极值、多项式因式分解等方面的具体应用.最后对正定矩阵作了进一步的推广，得到了广义正定矩阵的一些性质，并给出了相应的证明.关键词：正定矩阵；广义正定矩阵；正对角矩阵；实对称矩阵1关于正定矩阵的定义本科阶段学习的正定矩阵局限于实对称矩阵，它的常规定义为定义11n阶实对称矩阵A称为正定的，如果对0X12n,,...,Txxxn1R,都有0TXAX.这种正定矩阵的全体记作SP.1970年，JohnsonRC..首先提出了较广义的正定矩阵的定义，即定义22设AnnR，如果对0X12n,,...,Txxxn1R，都有0TXAX,则称A为正定矩阵,这种正定矩阵的全体记作lP.1984年，佟文廷把这种矩阵推广为定义33设AnnR，如果对0X12n,,...,Txxxn1R,都有正对角矩阵D=XD，使得0TXXDAX，则称A为广义的正定矩阵，记为AXDP，若XD与X无关，则记为ADP.1988年，夏长富对这种正定矩阵作进一步推广如下定义44设AnnR，如果对0X12n,,...,Txxxn1R,都存在SXSSP,洛阳师范学院本科毕业论文2使得TXAXSX0,称A为广义正定矩阵，这种广义正定矩阵的集合记为xSP，若XS与X无关，则把这样的广义正定矩阵的集合记作SP.2正定矩阵的判定定理定理1,5,122.1设A是n阶实对称矩阵，则下列命题等价1ASP；对0X12n,,...,xTxxn1R，都有0TXAX；3A的正惯性指数为n，负惯性指数为0；A的各阶顺序主子式都大于0；存在n阶可逆矩阵P，使TPAPEnE为阶单位阵；存在n阶可逆矩阵Q，使A=QQT；A的各阶主子式都大于0；8存在正定矩阵Q，使2AQ；9所有与A合同的矩阵是正定矩阵；A的特征值都大于0；A半正定且0A；设1223TAAAAA，则1A和13212TAAAA是正定矩阵.13存在对角元素全大于零的上下三角矩阵T，使TATT.证明1等价于因为A是实对称矩阵，所以A可对角化，即存在正交矩阵P，使112,,,nPAPdiag，其中1,2,,iin是A的特征值，i0，所以洛阳师范学院本科毕业论文32112111212,,,,,,nnnAPdiagPPdiagPPdiagP令Q=P12,,ndiag1P,则Q是正定矩阵且A=2Q.反之，因为Q是正定矩阵，所以2Q是正定矩阵，即A是正定矩阵.1等价于9设TBAB是与A合同的矩阵，A正定，下证TBAB正定，对0X12n,,...,Txxxn1R，作非退化线性替换YBX，则TTXBABXTYAY，因为A是正定矩阵，所以0TYAY，即TTXBABX0，所以TBAB是正定矩阵.反之，令TCBAB是正定矩阵，则1111TTABCBBCB，因为C是正定矩阵，A与C合同，由上面的证明可知，A是正定矩阵.1等价于1223TAAAAA是正定矩阵等价于TPAP是正定矩阵，1120EAAPE,11321200TTAPAPAAAA，洛阳师范学院本科毕业论文4等价于1A和13212TAAAA是正定矩阵.要证1等价于13，需先证明一个引理.引理1.2设A为一个n级实矩阵，且0A，则A可以分解成AQT，其中Q是正交矩阵，T是一上三角矩阵.证明设12,,,nA，其中1,2,,iin是A的列向量，因为0A，所以12,,,n线性无关，可作为n维线性空间的一组基，将其化为标准正交基，令11，2122111,,，323133212211,,,,，则12,,,n=12,,,n2111111222,,1,,,01,0001nn，将1，2，,n标准化，令1111,，2222,，,nnnn，则洛阳师范学院本科毕业论文512,,,n2111111112122222,,,,,,,,,0,,00,nnnnn，12,,,n是一组标准正交基，令12,,,nQ，21111111122222,,,,,,0,,00,nnnnT，则Q是正交矩阵，T是一上三角矩阵，且对角元素大于零.下面证明1等价于13A是正定矩阵等价于存在可逆矩阵P，使TTAPPQTQT2.1由引理可知TTTTQQTTT，T是上三角矩阵且对角元素大于0，同样的方法可证明下三角矩阵的情况.其余等价命题参考文献1.3正定矩阵的性质性质1.3若A是正定矩阵，则TA、1A、*A、aA0a也是正定矩阵.证明因为A是正定矩阵，所以存在n阶可逆矩阵Q，使ATQQ，则TTTTTAQQQQ所以TA是正定矩阵.另外，A的特征值i1,2,,in都大于0，所以1i都大于0，即1A的特征值都洛阳师范学院本科毕业论文6大于0，所以1A也是正定矩阵.对于任意的12nX,,...,0Txxx，TTXaAXaXAX0，所以aA是正定矩阵.因为*A=A1A，所以*A是正定矩阵.性质62.3设A，B是n阶正定实对称矩阵，且满足ABBA,则AB也是正定实对称矩阵.证明因为TTTABBABAAB，所以AB是实对称矩阵，设是AB的一个特征值，是对应于的特征向量，则AB,1BA，1TTBA，因为A,B是正定矩阵，所以TB，10TA，所以0，即AB的特征值都大于0，所以AB也是正定实对称矩阵.由性质2.3的证明过程可知，正定矩阵乘积的特征值大于0.性质3.3若A、B都是正定矩阵，则AB是正定矩阵.证明显然AB是实对称矩阵，对于任意的12nX,,...,0Txxx，有TTTXABXXAXXBX0，所以AB是正定矩阵.推论1.3若A、B都是正定矩阵，则aAbB0ab，0是正定矩阵.性质74.3若A、B都是正定矩阵，则ABAB.证明因为A是正定矩阵，所以存在可逆矩阵P,使得TPAPE，显然TPBP是对称矩阵，则TPBP可对角化，所以存在正交矩阵Q,使洛阳师范学院本科毕业论文7TTQPBPQ=100n因为TTQPBPQ是正定矩阵，所以i0i=12,n，，，令SPQ，则TSASETSBS100nTSABS==11001n分别对上式两边求行列式得，21SA，212nSB，212n+111SAB12n+1，所以222++SASBSAB，因为2S0，所以ABAB.此性质说明了对任意一个正定矩阵A和一个实对称矩阵B(B不一定是正定的),存在可逆矩阵T，使TTAT和TTBT都为对角矩阵.性质5.3A为n阶正定矩阵，则A的元素的绝对值最大者，一定在主对角元上.证明因为A正定，从而A的一切二阶主子式都大于0，当ij时洛阳师范学院本科毕业论文82iiijiijjijijjjaaaaaaa0.移项后，开方即得，ija12iijjaa,,1,2,,ijijn，设A的主对角元上最大元素为kka，再由上式，得，ija12iijjaa122kka=kkaij，此即证ijakka,1,2,,ijn.即A的元素的绝对值最大者，一定在主对角元上.性质66.3A为n阶正定矩阵，则1122nnAaaa，其中iia1,2,,in为A的主对角元素.证明设1TnnAAa，其中1A为A的n-1阶顺序主子式，121,,,,Tnnnnaaa因为A正定，所以1A正定，11A存在，于是11111110101nnTTnnAEEAaA=11100TnnAaA，两边取行列式得，A=1A11TnnaA，因为1A正定，所以11A正定，所以11TA0，1A0.所以A1Anna，同理1A2A1,1nna，这样继续下去，可得A1Anna2A1,1nnnnaa1122nnaaa.性质7.3若A是正定矩阵，则kAk是正整数也是正定矩阵.洛阳师范学院本科毕业论文9证明因为A是正定矩阵，所以A的特征值1,2,,0iin，那么1,2,,0kiin，即kA的特征值都大于0，所以kAk是正整数是正定矩阵.4正定矩阵的应用94.1证明不等式实对称矩阵A称为正定矩阵，是指如果实二次型TXAX正定，12,,,TnXxxx，而二次型TXAX正定是指对任意000012,,,TnXxxx0，恒有00TXAX0，所以可用实对称矩阵中的正定矩阵来证明不等式.例求证44xyxz222564xyzxyz、、为不全为零的实数.证明设二次型f,,xyz=222564xyz+44xyxz，则f的矩阵A=522260204，A的各阶顺序主子式11a=-50，5226=260，522260204=-800所以A是负定矩阵，则f0，即44xyxz222564xyz.2.4求函数的极值定义81.2.4假定,fxy具有二阶连续偏导数，并记000000xxxyxxxyfyxyyyxyyPfffPfPHPfffPfP,它称为f在0P的黑赛Hesse矩阵.定理81.2.4设二元函数f在点000,Pxy的某邻域0P内具有二阶连续偏导数，且0P是f的稳定点.则当0fHP是正定矩阵时，f在0P取得极小值；当0fHP是负定矩阵时，f在0P取得极大值；当0fHP是不定矩阵时，f在0P不取极值.洛阳师范学院本科毕业论文10例求函数22,2fxyxxyyxy的极值点.解由方程组220210xyfxyfxy得f的稳定点为01,0P，0xxfP=2，01xyfP，01yxfP，02yyfP，那么000002112xxxyfyxyyfPfPHPfPfP，是正定矩阵，所以01,0P是f的极小值点，1,01f.多元函数的情形：定义2.2.4假设12,,,nfxxx具有二阶连续