正弦稳态电路的分析

第九章正弦稳态电路的分析§9－1阻抗和导纳阻抗和导纳的概念以及对它们的运算和等效变换是线性电路正弦稳态分析中的重要内容。1.阻抗1）阻抗的定义图9.1所示的无源线性一端口网络，当它在角频率为的正弦电源激励下处于稳定状态时，端口的电压相量和电流相量的比值定义为该一端口的阻抗Z。即单位：Ω上式称为复数形式的欧姆定律，其中称为阻抗模，称为阻抗角。由于Z为复数，也称为复阻抗，这样图9.1所示的无源一端口网络可以用图9.2所示的等效电路表示，所以Z也称为一端口网络的等效阻抗或输入阻抗。图9.1无源线性一端口网络图9.2等效电路2）单个元件的阻抗当无源网络内为单个元件时，等效阻抗分别为：a电阻b电容c电感图9.3单个元件的网络a图b图c图说明Z可以是纯实数，也可以是纯虚数。3）RLC串联电路的阻抗图9.4RLC串联电路图9.5阻抗三角形由KVL得：因此，等效阻抗为其中R—等效电阻(阻抗的实部)；X—等效电抗(阻抗的虚部)；Z、R和X之间的转换关系为：或可以用图9.5所示的阻抗三角形表示。结论：对于RLC串联电路：（1）当ωL＞1/ωC时，有X＞0，φz＞0，表现为电压领先电流，称电路为感性电路，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图9.6所示；图9.6ωL＞1/ωC时的相量图和等效电路（2）对于RLC串联电路当ωL＜1/ωC时，有X＜0，φz＜0，表现为电流领先电压，称电路为容性电路，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图9.7所示；图9.7ωL＜1/ωC时的相量图和等效电路（3）当ωL＝1/ωC时，有X＝0，φz＝0，表现为电压和电流同相位，此时电路发生了串联谐振，电路呈现电阻性，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图9.8所示；图9.8ωL＝1/ωC时的相量图和等效电路（4）RLC串联电路的电压UR、UX、U构成电压三角形，它和阻抗三角形相似,满足：注：从以上相量图可以看出，正弦交流RLC串联电路中，会出现分电压大于总电压的现象。2.导纳1）导纳的定义图9.1所示的无源线性一端口网络，当它在角频率为的正弦电源激励下处于稳定状态时，端口的电流相量和电压相量的比值定义为该一端口的导纳Y。即单位：S上式仍为复数形式的欧姆定律，其中称为导纳模，称为导纳角。由于Y为复数，称为复导纳，这样图9.1所示的无源一端口网络可以用图9.9所示的等效电路表示，所以Y也称为一端口网络的等效导纳或输入导纳。图9.9无源线性一端口网络等效导纳2）单个元件的导纳当无源网络内为单个元件时如图9.3所示，等效导纳分别为：a图b图c图说明Y可以是纯实数，也可以是纯虚数。3）RLC并联电路的导纳图9.10RLC并联电路图9.11导纳三角形由KCL得：因此，等效导纳为其中G—等效电导(导纳的实部)；B—等效电纳(导纳的虚部)；Y、G和B之间的转换关系为：或可以用图9.11所示的导纳三角形表示。结论：对于RLC并联电路：（1）当ωL＞1/ωC时，有B＞0，φy＞0，表现为电流超前电压，称电路为容性电路，其相量图（以电压为参考相量）和等效电路如图9.12所示；图9.12ωL＞1/ωC时的相量图和等效电路（2）当ωL＜1/ωC时，有B＜0，φy＜0，表现为电压超前电流，称电路为感性电路，其相量图（以电压为参考相量）和等效电路如图9.13所示；图9.13ωL＜1/ωC时的相量图和等效电路（3）当ωL=1/ωC时，有X＝0，φz＝0，表现为电压和电流同相位，此时电路发生了并联谐振，电路呈现电阻性，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图9.14所示图9.14ωL=1/ωC时的相量图和等效电路（4）RLC并联电路的电流IR、IX、I构成电流三角形，它和阻抗三角形相似。满足注：从以上相量图可以看出，正弦交流RLC并联电路中，会出现分电流大于总电流的现象。3.复阻抗和复导纳的等效互换同一个两端口电路阻抗和导纳可以互换，互换的条件为：即：9.15串联电路和其等效的并联电路如图9.15的串联电路，它的阻抗为：其等效并联电路的导纳为：即等效电导和电纳为：同理，对并联电路，它的导纳为其等效串联电路的阻抗为：即等效电阻和电抗为：例9-1电路如图(a)所示，已知：R=15Ω,L=0.3mH,C=0.2mF,求i,uR,uL,uC。例9—1图（a）（b）（c）解：电路的相量模型如图（b）所示，其中：因此总阻抗为总电流为电感电压为电阻电压为电容电压为相量图如图（c）所示，各量的瞬时式为：注意:UL=8.42＞U=5，说明正弦电路中分电压的有效值有可能大于总电压的有效值。例9-2RL串联电路如图（a）所示，求在ω＝106rad/s时的等效并联电路图（b）。例9—2图（a）（b）解：RL串联电路的阻抗为：导纳为：得等效并联电路的参数§9－2阻抗(导纳)的串联和并联1.阻抗的串联图9.16为n个阻抗串联的电路，根据KVL得：图9.16n个阻抗串联图图9.17等效电路图其中Z为等效阻抗，因此图9.16的电路可以用图9.17的等效电路替代。串联电路中各个阻抗的电压分配为：其中为总电压，为第k个阻抗的电压。2.导纳的并联图9.18n个阻抗并联图9.19等效电路图9.18为n个阻抗并联的电路，根据KCL得：其中Y为等效导纳，因此图9.18的电路可以用图9.19的等效电路替代。并联电路中各个阻抗的电流分配为：其中为总电流，为第k个导纳的电流。两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为：注：阻抗的串联和并联计算及分压和分流计算在形式上与电阻的串联和并联及分压和分流计算相似。例9-3求图示电路的等效阻抗，已知ω＝105rad/s。例9—3图解：感抗和容抗为：所以电路的等效阻抗为例9-4图示电路对外呈现感性还是容性？例9—4图解：图示电路的等效阻抗为：所以电路对外呈现容性。例9-5图示为RC选频网络，试求u1和u0同相位的条件及例9—5图解：设输出电压输出电压和输入电压的比值因为当，上式比值为实数，则u1和u0同相位，此时有§9－3正弦稳态电路的分析1．电阻电路与正弦电流电路的分析比较结论：引入相量法和阻抗的概念后，正弦稳态电路和电阻电路依据的电路定律是相似的。因此，可将电阻电路的分析方法直接推广应用于正弦稳态电路的相量分析中。2.典型例题例9-6求图(a)电路中各支路的电流。已知电路参数为:例9—6图（a）（b）解：电路的相量模型如图（b）所示。设则各支路电流为例9-7列写图（a）电路的回路电流方程和节点电压方程例9—7图（a）解：选取回路电流方向如图（b）所示，回路电流方程为:回路1回路2回路3回路4（b）（c）结点选取如图（c）所示，则结点电位方程为:结点1结点2结点3例9-8求图（a）电路中的电流已知：例9—8图（a）（b）解：方法一：应用电源等效变换方法得等效电路如图（b）所示，其中方法二：应用戴维南等效变换图（c）（d）求开路电压：由图（c）得求等效电阻：把图（c）中的电流源断开得等效电路如图（d）所示，因此电流例9-9求图（a）所示电路的戴维南等效电路。例9—9图（a）（b）解：把图（a）变换为图（b），应用KVL得解得开路电压求短路电流：把图（b）电路端口短路得所以等效阻抗:例9-10用叠加定理计算图（a）电路的电流，已知例9—10（a）（b）（c）解：画出独立电源单独作用的分电路如图（b）和（c）所示，由图（a）得：由图（b）得则所求电流例9-11已知图示电路：Z=10+j50Ω,Z1=400+j1000Ω,问：β等于多少时，相位差90°？例9—11图解：根据KVL得所以令上式的实部为零，即得:,即电压落后电流90°相位。例9-12已知图（a）所示电路中，U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,f=50Hz，求：电感线圈的电阻R2和电感L2。例9—12（a）（b）解：方法－、画相量图分析。相量图如图（b）所示，根据几何关系得：代入数据得因为所以方法二、列方程求解，因为令上式等号两边实部、虚部分别相等得:解得其余过程同方法一。§9－4正弦稳态电路的功率1.瞬时功率设无源一端口网络如图9.20所示，在正弦稳态情况下，端口电压和电流为：式中φ是电压和电流的相位差，对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。图9.20图9.21则一端口网络吸收的瞬时功率为：上式可以分解为：从上式可以看出瞬时功率有两个分量，一个为恒定量，一个为两倍电压或电流频率的正弦量，P（t）的波形如图9.21所示。瞬时功率还可以写为：上式中第一项始终大于零，为瞬时功率的不可逆部分，第二项为两倍电压或电流频率的正弦量，是瞬时功率的可逆部分，代表电源和一端口之间来回交换的能量。P(t)的波形如图9.22示。注意：瞬时功率有时为正,有时为负，p＞0,表示电路吸收功率，p＜0，表示电路发出功率。图9.222.平均功率P为了便于测量，通常引入平均功率的概念。平均功率为瞬时功率在一个周期内的平均值，即：P的单位是W（瓦）。式中cosφ称为功率因数，说明平均功率不仅与电压和电流的乘积有关，而且与它们之间的相位差有关。注意：当cosφ=1,表示一端口网络的等效阻抗为纯电阻，平均功率达到最大。当cosφ=0，表示一端口网络的等效阻抗为纯电抗，平均功率为零。一般有0≤｜cosφ｜≤1。因此，平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率。3.无功功率Q工程中还引入无功功率的概念，其定义为：单位：var(乏)。当Q＞0，认为网络吸收无功功率；Q＜0，认为网络发出无功功率。注意：当cosφ=1,有sinφ=0，纯电阻网络的无功功率为零。当cosφ=0，有sinφ=1，表示纯电抗网络无功功率最大。因此Q的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件L、C的性质决定的。4.视在功率S定义视在功率为电压和电流有效值的乘积，即：单位：VA(伏安)视在功率反映电气设备的容量。有功功率，无功功率和视在功率满足图9.23所示的功率三角形关系：图9.235.任意阻抗的功率计算以上式子说明功率三角形与阻抗三角形是相似三角形。图9.24（b）和（c）为图9.24（a）所示的RLC串联电路中电感和电容的瞬时功率的波形，从中可以看出，当L发出功率时，C刚好吸收功率，当C发出功率时，L刚好吸收功率，说明电感、电容的无功具有互相补偿的作用。图9.24（a）（b）（c）6.功率因数的提高有功功率的表达式说明当功率一定时，若提高电压U和功率因素cosφ，可以减小线路中的电流，从而减小线路上的损耗，提高传输效率。电力系统中就是采用高压传输和并联电容提高功率因素的方式来提高传输效率。图9.25（a）给出了电感性负载与电容的并联电路，图（b）为其相量图，显然并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。图9.25（a）（b）根据相量图可以确定并联电容的值，由图可知：因此注意：并联电容后，电源向负载输送的有功功率UILcosφ1=UIcosφ2不变，但是电源向负载输送的无功UIsinφ2＜UILsinφ1减少了，减少的这部分无功就由电容“产生”的无功来补偿，使感性负载吸收的无功不变，而功率因数得到改善。例9-13图示电路是用三表法测线圈参数。已知f=50Hz，且测得U=50V，I=1A，P=30W,求线圈参数。例9—13图解：方法一，由电表的读数知：视在功率无功功率因此方法二，由因且所以方法三，由得因所以例9-14图示电路，已知：f=50Hz,U=220V,P=10kW,线圈的功率因素cosφ=0.6，采用并联电容方法提高功率因素，问要使功率因数提高到0.9,应并联多大的电容C，并联前后电路的总电流各为多大？例9—14图解：所以并联电容为：未并电容时，电路中的电流为：并联电容后，电路中的电流为：§9－5复功率正弦电流电路的有功功率、无功功率和视在功率三者之间的关系可以通过“复功率”表述。1.复功率设一端口网络的电压相量和电流相量为，定义复功率为：单位：VA因此复功率也可表示为：或注意：（1）复功率把P、Q、S联系在一起，它的实部是平均功率，虚部是无功功率，模是视在功率；辐角是功率因