步步高二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.13.3.1二元一次不等式(组)与平面区域【学习目标】1．了解二元一次不等式表示的平面区域．2．会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．【学法指导】1．要善于从特例入手，探究二元一次不等式与对应平面区域的关系．归纳总结出一般结论：“同侧同号，同号同侧，异侧异号，异号异侧”．2．准确、规范、熟练地画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域是学好本单元的关键所在．熟练掌握“直线定边界，特殊点定区域”的要领．本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.11．二元一次不等式(组)的概念含有未知数，并且未知数的次数是的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为_______．2．二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C0表示直线某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成，以表示区域不包括边界．不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成．填一填·知识要点、记下疑难点两个1二元一次不等式组Ax＋By＋C＝0虚线实线本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.13．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都．(2)在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧取某个特殊点(x0，y0)，由的符号就可以断定Ax＋By＋C0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．4．在平面直角坐标系中，二元一次方程x－y－6＝0表示一条直线，平面内的所有点被直线x－y－6＝0分成三类：直线x－y－6＝0上的点；直线x－y－6＝0左上方区域内的点，这一区域用二元一次不等式表示为;直线x－y－6＝0右下方区域内的点，这一区域用二元一次不等式表示为.填一填·知识要点、记下疑难点相同Ax0＋By0＋Cx－y－60x－y－60本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1探究点一二元一次不等式表示的平面区域问题在平面直角坐标系中，画出直线x－y＋2＝0，并标出以下九点：O(0,0)，A(0,2)，B(－2,0)，C(－1,1)，D(1,0)，E(0，－1)，F(－3,0)，G(－2,2)，H(0,3)．研一研·问题探究、课堂更高效演示数值变化本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1通过图象容易得出以下结论：(1)点A(0,2)，B(－2,0)，C(－1,1)的坐标满足方程____，它们在直线x－y＋2＝0上；(2)点O(0,0)，D(1,0)，E(0，－1)的坐标满足不等式______，它们在直线x－y＋2＝0的；(3)点F(－3,0)，G(－2,2)，H(0,3)的坐标满足不等式______，它们在直线x－y＋2＝0的．探究一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C0与Ax＋By＋C0分别表示直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)两侧的平面区域．例如，不等式表示直线x＋y＋2＝0右上方的平面区域；表示直线x＋y＋2＝0左下方的平面区域．研一研·问题探究、课堂更高效x－y＋2＝0右下方＋20x－y＋20左上方x＋y＋20x＋y＋20本讲栏目开关填一填研一研练一练x－y3.3.1探究点二二元一次不等式(组)表示平面区域的确定问题在平面直角坐标系中，画出直线Ax＋By＋C＝0以后，需要判断出不等式Ax＋By＋C0与Ax＋By＋C0分别表示直线Ax＋By＋C＝0的哪一侧．根据直线Ax＋By＋C＝0同一侧的点的坐标代入Ax＋By＋C，所得实数的符号；异侧的点的坐标代入Ax＋By＋C，所得实数的符号．因此，常按下面步骤进行判断：第一步：从直线Ax＋By＋C＝0的某一侧(一定不在直线上)选取一特殊点(x0，y0)(当C≠0时，常把选作此特殊点)；第二步：计算Ax0＋By0＋C的值，得出Ax0＋By0＋C的符号；第三步：下结论：若Ax0＋By0＋C0，则不等式Ax＋By＋C0表示的一侧；否则，不等式Ax＋By＋C0表示的一侧．研一研·问题探究、课堂更高效相同相反原点(0,0)含点(x0，y0)不含点(x0，y0)本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1探究根据上面提供的方法，判断下列二元一次不等式所表示的平面区域．①不等式x－20表示直线x＝2侧的平面区域；②不等式y＋1≤0表示直线y＝－1及其下方的平面区域；③不等式2x＋3y－60表示直线2x＋3y－6＝0方的平面区域；④不等式7x－8y＋560表示直线7x－8y＋56＝0方的平面区域．研一研·问题探究、课堂更高效右左下左上本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1【典型例题】例1画出不等式(组)x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3.表示的平面区域．研一研·问题探究、课堂更高效先画出直线x－y＋5＝0(画成实线)，如图，取原点O(0，0)，代入x－y＋5，因为0－0＋5＝50，所以原点在x－y＋50表示的平面区域内，即x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，同理可得，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．填一填研一研练一练本讲栏目开关3.3.1小结不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分，但要注意是否包含边界．研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1跟踪训练1画出不等式组x3，2y≥x，3x＋2y≥6，3yx＋9研一研·问题探究、课堂更高效解不等式x3表示直线x＝3左侧点的集合；表示的平面区域．不等式2y≥x即x－2y≤0表示直线x－2y＝0上及左上方点的集合；不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6＝0上及右上方点的集合；不等式3yx＋9，即x－3y＋90表示直线x－3y＋9＝0右下方点的集合．综上可得，不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分．本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1例2在△ABC中，A(3，－1)、B(－1,1)、C(1,3)，写出△ABC区域(包括边界)所表示的二元一次不等式组．研一研·问题探究、课堂更高效解如图所示，可求得直线AB、BC、CA的方程分别为x＋2y－1＝0，x－y＋2＝0,2x＋y－5＝0.由于△ABC区域在直线AB右上方，∴x＋2y－1≥0；在直线BC右下方，∴x－y＋2≥0；在直线AC左下方，∴2x＋y－5≤0.∴△ABC区域可表示为x＋2y－1≥0，x－y＋2≥0，2x＋y－5≤0.本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1小结在已知平面区域前提下，用不等式(组)表示已知平面区域，可在各条直线外任取一点，将其坐标代入Ax＋By＋C，判断其正负，确定每一个不等式．研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1跟踪训练2如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是()A.y≥－23x－2y＋60x0B.y≥－23x－2y＋6≥0x≤0C.y－23x－2y＋60x≤0D.y－23x－2y＋60x0研一研·问题探究、课堂更高效解析可结合图形，根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行．由图知所给区域的三个边界中，有两个是虚的，所以C正确．C本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1例3画出不等式组x－y＋6≥0，x＋y≥0，x≤3所表示的平面区域，并求平面区域的面积．研一研·问题探究、课堂更高效解先画直线x－y＋6＝0(画成实线)，不等式x－y＋6≥0表示直线x－y＋6＝0上及右下方的点的集合.画直线x＋y＝0(画成实线)，不等式x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合．画直线x＝3(画成实线)，不等式x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组x－y＋6≥0，x＋y≥0，x≤3本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1所表示的平面区域为如图所示阴影部分，因此其区域面积也就是△ABC的面积．研一研·问题探究、课堂更高效显然，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC，B点的坐标为(3,－3)．由点到直线的距离公式得|AB|＝|1×3＋－1×－3＋6|2＝122，∴S△ABC＝12×122×122＝36.故不等式组x－y＋6≥0，x＋y≥0，x≤3所表示的平面区域的面积等于36.小结解本题时注意到△ABC为等腰直角三角形，点B到直线AC的距离即为△ABC的腰长|AB|，由点到直线的距离公式求得|AB|，面积便可求出．本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1跟踪训练3画出不等式组x＋2y－1≥0，2x＋y－5≤0，y≤x＋2所表示的平面区域并求其面积．研一研·问题探究、课堂更高效解如图所示，其中的阴影部分便是所表示的平面区域．由x－y＋2＝0，2x＋y－5＝0，得A(1,3)．同理得B(－1,1)，C(3，－1)．∴|AC|＝22＋42＝25，而点B到直线2x＋y－5＝0的距离为d＝|－2＋1－5|5＝655.∴S△ABC＝12|AC|·d＝12×25×655＝6.本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.11．已知点(－1,2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是()A．(－1,6)B．(－6,1)C．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D．(－∞，－6)∪(1，＋∞)练一练·当堂检测、目标达成落实处解析由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)0，即(a＋1)(a－6)0，∴－1a6.A本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.12．直线2x＋y－10＝0与不等式组x≥0，y≥0，x－y≥－2，4x＋3y≤20表示的平面区域的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个练一练·当堂检测、目标达成落实处解析画出可行域如图阴影部分所示．∵直线过(5,0)点，故只有1个公共点(5,0)．B本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.13．画出二元一次不等式组x＋y≤1，x≥0，y≥0表示的平面区域，则这个平面区域的面积为________．练一练·当堂检测、目标达成落实处解析平面区域如图所示．12本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.14．根据下列平面区域，写出它们所对应的二元一次不等式(组)．(1)平面区域对应的不等式(组)：；(2)平面区域对应的不等式(组)：；练一练·当堂检测、目标达成落实处－1≤x≤1－1≤y≤1x＋y≤1本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.1(3)平面区域对应的不等式(组)：.练一练·当堂检测、目标达成落实处x－y≥0x＋y0x≤1本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.11．一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C0或Ax＋By＋C0在平面直角坐标系内表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域．2．在画二元一次不等式表示的平面区域时，应用“直线定边界、特殊点定区域”的方法来画区域．取点时，若直线不过原点，一般用“原点定区域”；若直线过原点，则取点(1,0)即可．总之，尽量减少运算量．3．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练