步步高北师大版(数学文)2017版大一轮复习讲义48解三角形的综合应用[来源学优高考网1096192

1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．2．方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．3．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，π2]．(×)(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(√)(4)如图，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．(√)1．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10nmile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于()A．103nmileB.1063nmileC．52nmileD．56nmile答案D解析如图，在△ABC中，AB＝10，∠A＝60°，∠B＝75°，∴BCsin60°＝10sin45°，∴BC＝56.2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°答案B解析如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.3．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km，参考数据：3≈1.732)()A．11.4kmB．6.6kmC．6.5kmD．5.6km答案B解析∵AB＝1000×160＝503km，∴BC＝ABsin45°·sin30°＝5032km.∴航线离山顶h＝5032×sin75°＝5032×sin(45°＋30°)≈11.4km.∴山高为18－11.4＝6.6km.4．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h，则下午2时两船之间的距离是________nmile.答案70解析设两船之间的距离为d，则d2＝502＋302－2×50×30×cos120°＝4900，∴d＝70，即两船相距70nmile.5．如图所示，已知树顶A离地面212米，树上另一点B离地面112米，某人在离地面32米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．答案6解析过C作CF⊥AB于点F，设∠ACB＝α，∠BCF＝β，由已知得AB＝212－112＝5(米)，BF＝112－32＝4(米)，AF＝212－32＝9(米)．则tan(α＋β)＝AFFC＝9FC，tanβ＝BFFC＝4FC，∴tanα＝[(α＋β)－β]＝tanα＋β－tanβ1＋tanα＋βtanβ＝9FC－4FC1＋36FC2＝5FC＋36FC≤52FC·36FC＝512.当且仅当FC＝36FC，即FC＝6(米)时，tanα取得最大值，此时α取得最大值．题型一求距离、高度问题例1(1)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD.2522m(2)(2015·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.答案(1)A(2)1006解析(1)由正弦定理得AB＝AC·sin∠ACBsinB＝50×2212＝502(m)．(2)在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BCsin∠BAC＝ABsin∠ACB，即BCsin30°＝600sin45°，所以BC＝3002.在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan∠CBD＝3002·tan30°＝1006.思维升华求距离、高度问题应注意(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念．(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．(1)一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°的方向上，距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/小时．(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则树的高度为________m.答案(1)1726(2)30＋303解析(1)由题意知，在△PMN中，PM＝68海里，∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠MNP＝45°.由正弦定理，得MNsin120°＝68sin45°，解得MN＝346海里，故这只船航行的速度为3464＝1762海里/小时．(2)在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PBsin30°＝ABsin15°，∴PB＝12×606－24＝30(6＋2)，∴树的高度为PB·sin45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)m.题型二求角度问题例2(1)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的______方向．(2)如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于()A．30°B．45°C．60°D．75°答案(1)北偏西10°(2)B解析(1)由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°，∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.(2)依题意可得AD＝2010m，AC＝305m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD＝3052＋20102－5022×305×2010＝600060002＝22，又0°∠CAD180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.思维升华解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)答案539解析如图，过点P作PO⊥BC于点O，连接AO，则∠PAO＝θ.设CO＝xm，则OP＝33xm.在Rt△ABC中，AB＝15m，AC＝25m，所以BC＝20m．所以cos∠BCA＝45.所以AO＝625＋x2－2×25x×45＝x2－40x＋625(m)．所以tanθ＝33xx2－40x＋625＝331－40x＋625x2＝3325x－452＋925.当25x＝45，即x＝1254时，tanθ取得最大值为3335＝539.题型三三角形与三角函数的综合问题例3已知函数f(x)＝23sin2π4＋x＋2sinπ4＋xcosπ4＋x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且角A满足f(A)＝3＋1.若a＝3，BC边上的中线长为3，求△ABC的面积S.解(1)由题意知，f(x)＝31－cosπ2＋2x＋sinπ2＋2x＝3(1＋sin2x)＋cos2x＝3＋3sin2x＋cos2x＝3＋2sin2x＋π6，由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为kπ－π3，kπ＋π6，k∈Z.(2)由f(A)＝3＋1，得sin2A＋π6＝12，∴2A＋π6＝π6或5π6，即A＝0或π3.又A为△ABC的内角，∴A＝π3.由A＝π3，a＝3，得|BC→|＝|AC→－AB→|＝a＝3，①又BC边上的中线长为3，知|AB→＋AC→|＝6，②联立①②，解得AB→·AC→＝274，即|AB→|·|AC→|·cosπ3＝274，∴|AB→|·|AC→|＝272.∴△ABC的面积为S＝12|AB→|·|AC→|·sinπ3＝2738.思维升华三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2cosC＋c＝2b，则△ABC的周长的取值范围是______．答案(2,3]解析在△ABC中，由余弦定理可得2cosC＝a2＋b2－c2ab，∵a＝1,2cosC＋c＝2b，∴1＋b2－c2b＋c＝2b，化简可得(b＋c)2－1＝3bc.∵bc≤b＋c22，∴(b＋c)2－1≤3×b＋c22，解得b＋c≤2(当且仅当b＝c时，取等号)．故a＋b＋c≤3.再由任意两边之和大于第三边可得b＋ca＝1，故有a＋b＋c2，故△ABC的周长的取值范围是(2,3]．9．函数思想在解三角形中的应用典例(12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．思维点拨(1)利用三角形中的余弦定理，将航行距离表示为时间t的函数，将原题转化为函数最值问题；(2)注意t的取值范围．规范解答解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则[1分]S＝900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°＝900t2－600t＋400＝900t－132＋300.[3分]故当t＝13时，Smin＝103，v＝10313＝303.即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．[6分](2)设小艇与轮船在B处相遇．则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，[8分]故v2＝900－600t＋400t2.∵0v≤30，∴900－600t＋400t2≤900，即2t2－3t≤0，解得t≥23.又t＝23时，v＝30，故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20.[11分]故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[12分]温馨提醒(1)三角形中的最值问题，可利用正弦、余弦