武汉大学2005数学分析试题解答

2005年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答（武汉大学）一、设{}nx满足:11||||||nnnnnxxqxx,||1nqr，证明{}nx收敛。证明：（分析：压缩映像原理）11111111112121211,|12||||||||,||||(1...)||||1||111ln||lnnnnnnnnnppnpniinninnpnrmqmxxqxxmxxCauchyxxxxmmxxmxxmmxxmmmxxN令：则显然|(此即压缩映像原理证明)以下证明压缩映像原理利用收敛准则，对取n||npnnNmxx+1,对任意的。从而知命题收敛二、对任意δ0。证明级数01nnx在(1,1+δ)上不一致收敛。证明：（利用反证法，Cauchy收敛准则和定义证明。）10,(1,1),,,11()11111(1,{1,})(1,1),MNMnnnnNnxNnMNxxxxxxmin如果级数收敛，那么对于当时只需令代入上式，矛盾从而知非一致收敛三、设10()||sin,()fxxyydyfx求解，（本题利用莱布尼兹求导法则：）()()()()10101010()()()()()(())(())()||sin()sin()sin,[0,1]()()sin,(1,)()sin,(,0)'(bxaxbaxxFxfxdxFfxbadxfbfafxxyydyxyydyyxydyxfxxyydyxyxydyxf，，，，，101010sinsin,[0,1])sin,(1,)sin,(,0)2sin,[0,1]()0,(1,)0,(,0)xxydyxydyxxydyxydyxxxfxxx四、判断级数2lnlnsinlnnnnn的绝对收敛性和相对收敛性解：（1）绝对收敛性：（主要使用放缩法）21,|sin||sin(1)|2sin2,lnln1lnlnlnlnlnln|sin||sin||sin|lnlnlnln2nMnMnMMnnNnnAMMnnnnnnnnnAn首先，不难证明对于当足够大的时候。显然，该级数发散。即不绝对收敛（2）相对收敛性：（A-D判别法）{}0{}nnnnnnabaaab1收敛于，有界2有界，收敛满足上述任意一个条件收敛221cos12sinsin()11coscos22lnln1limlim0(')lnlnDirichletnnnnnnnLHospitalnn积化和差法则根据判别法，知该级数收敛五、计算22()(2)()Iyzdxxyzdyxydz，其中Γ为曲线222222,0,022xyzazbaxybx，从z轴的正方向看过去，Γ是逆时针方向解：（利用奇偶性做）22222222222222cossin,4cossin22cos2cossin[,]2(12sin)2()228cossin44cos4cos()(2)xazyazzzdxbdydxbybdybdxbdbbyzabdzddzabIyzdxxyzdy代入方程得到2222222222(),(0)(cos21)cos22cos1cos224xydzxdybdbdbdb利用奇偶性，第一第三个积分为六、设()[0,1]fx在上变号，且为连续函数，求证：10[0,1]min()|'()|fxftdt证明：（画出函数图像，分两段讨论：）minminminmin1minmin01minmin0[01]inf{|()0},()0(1)[0,]()'()|'()||'()|(2)[1]()'()|'()||'()|xxxxxfxfxfxftdtftdtftdtxfxftdtftdtftdt利用介值定理，取，，不难证明，七、证明含参变量反常积分0sin[](1)xydyxy在，上一致收敛，其中δ0，但是在(0,)内不一定一致收敛。证明：0002222sin1sinsin(1)lim(1),0,,1sin1sin11||sin2()()111MMMMMMNNNNxyxyydydxydyxyxxxyxyNMNyydydyydydyxxyxxyxxyMNxMNN根据定义。（利用了Cauchy-Schwarz不等式）02sin[0](1),,sinsinsin||11xMMxMxMxNNxNxNxydyxyCauchyNMNxMydyxyyyMdxydyydyMMNxxyxyMMxxxxMM（2）在，不一致收敛反证法：根据收敛准则，0,当时当足够大时，上式显然不成立，矛盾。故原命题成立八、在底面半径为a，高为h的正圆锥内作长方体，其一面与圆锥地面重合，对面四个顶点在锥面上，求长方体的最大体积。解：2223A1sin,2'1''2128()(2)((2))1222222'2SdhVShdhadhddhddaVdhadadaaadhhha顶顶首先，由于顶点所在的平面和圆锥的交线为一个圆A，四个顶点组成在圆上。所以，易知长方体的底面中点和圆锥底面的中点重合。另外，顶面的长方形对角线为圆的直径d，即为定值。当且仅当底面为正方形的时候取到。不妨设，高为227LagrangeLagrangeh本题还可以用乘子法解决。但是，我觉得用初等方法也可以。我不用乘子法用意是学习了高等数学不应该把初等数学方法忘记了。九、设(01)a，，()[0,](0,)fxaa在上连续，在,在（0，a）内可导，以及在(0,a)内取到最值，且满足f(0)=0,f(a)=a。证明：1）(0,),()afa使得；2）(0,),'()afa使得证明：1）命题有问题，取a=1/2,f(x)=5x-8x2f(0)=0,f(1/2)=1/2f(x)在5/16取到最值，但是f(x)-ax只在x=0,x=9/16等于0，与命题1矛盾。()()()()[0,]()0,(0,)(0,),'()0'()()0,',(')()(0)0,(0,'),()()Rollegxfxaxfxgxagxxaafgagggggg2）构造函数。由于为连续函数，所以在上为连续函数，且一致连续反证法：如果命题不正确，那么根据题设，存在使得由于加上一致连续的条件，存在由于利用连续性和介值定理，存在根据中(,),'()0'()gfa值定理，得到括号里的是我的个人意见，主要是一些思路。本人水平不够，如果有错误，希望大家不吝指出，并恳请大家原谅。希望大家继续支持bossh！