立体几何证明垂直专项含练习题及答案

1立体几何证明------垂直一.复习引入1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________.3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么_________________________.6.两个平面的位置关系:_________,_________.7.判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________.9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行.10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面.二．知识点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义判定语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.图形条件b为平面α内的任一直线，而l对这一直线总有l⊥αl⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m，n结论l⊥l⊥要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）知识点二、直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线垂直于同一个平面的两条直线平行.2图形条件结论知识点三、二面角Ⅰ.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedralangle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.记作二面角AB－－.（简记PABQ－－）二面角的平面角的三个特征:ⅰ.点在棱上ⅱ.线在面内ⅲ.与棱垂直Ⅱ.二面角的平面角：在二面角－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：000180.知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形结果α∩β=lα-l-β=90oα⊥β（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“随意”“无数”等字眼）三．常用证明垂直的方法立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质。（3）利用勾股定理。3PEDCBA（4）利用直径所对的圆周角是直角(1)通过“平移”,根据若则a//b,且b⊥平面α,a⊥平面α1．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=21DC，中点为PDE.求证：AE⊥平面PDC.2．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，点E为棱AB的中点．求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质3、在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC．（Ⅰ）求证：PCAB；EFBACDP（第2题图）ACBP4（3）利用勾股定理4.如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，,1,2.PACDPAPD求证:PA平面ABCD；（4）利用直径所对的圆周角是直角5、如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；_D_C_B_A_POACBPD.5课堂及课后练习题：1.判断下列命题是否正确，对的打“√”，错误的打“×”。（1）垂直于同一直线的两个平面互相平行（）（2）垂直于同一平面的两条直线互相平行（）（3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直（）2.已知直线a,b和平面，且,,aba则b与的位置关系是________________________________________________.3.如图所示，在四棱锥PABCD中，ABPAD平面,//ABCD,PDAD,E是PB的中点，F是CD上的点，且12DFAB,PH为PAD中AD边上的高。（1）证明：PHABCD平面；4.如图所示,四棱锥PABCD底面是直角梯形,,2,BAADCDADCDABPA底面ABCD,E为PC的中点,PA＝AD。证明:BEPDC平面;6CADBOE5.如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º证明：AB⊥PC6.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABAD（1）求证：AO平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；7.如图，四棱锥SABCD中，BCAB,BCCD，侧面SAB为等边三角形，2,1ABBCCDSD．（Ⅰ）证明：SDSAB平面;78.如图，在圆锥PO中，已知PO=2，⊙O的直径2AB,C是狐AB的中点，D为AC的中点．证明：平面POD平面PAC;课堂及课后练习题答案：1（1）√（2）√（3）√2.b//b或者3.证明：因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD，又因为ABPAD平面，所以ABPH，=ABADA，所以PHABCD平面84.分析：取PD的中点F，易证AF//BE,易证AF⊥平面PDC，从而BEPDC平面.5.证明：因为PAB是等边三角形，90PACPBC,所以RtPBCRtPAC,可得ACBC。如图，取AB中点D，连结PD,CD,则PDAB,CDAB,所以AB平面PDC,所以ABPC。6.（1）证明：连结OC,,.BODOABADAOBD,,.BODOBCCDCOBD在AOC中，由已知可得1,3.AOCO而2,AC222,AOCOAC90,oAOC即.AOOC,BDOCOAO平面BCD7.（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，连结SE，则,3.SEABSE又SD=1，故222EDSESD，所以DSE为直角。由,,ABDEABSEDESEE，得AB平面SDE，所以ABSD。SD与两条相交直线AB、SE都垂直。所以SD平面SAB。