圆的证明与计算专题讲解

《圆的证明与计算》专题讲解圆的有关证明一、圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮:主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理:主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.知识点一：判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线例3如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.方法二：若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题）例1：已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.知识点二：与圆有关的计算计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；射影定理：所谓射影，就是正投影。其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。由三角形相似的性质：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:：(1)(AD)2;=BD·DC,(2)(AB)2;=BD·BC,(3)(AC)2;=CD·BC。等积式(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型（已知线段长度）；⑤构造三角函数(已知有角度的情况）;○6找不到，找相似（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。范例讲解：例题1：△ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作⊙O交AP于C点，弧CF=CB，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D.（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求AFEF的值。例题2：直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F.⑴求证：CD为⊙O的切线⑵若53ABBE，求DFBF的值例题3：如图，AB为直径，PB为切线，点C在⊙O上，AC∥OP。（1）求证：PC为⊙O的切线。（2）过D点作DE⊥AB，E为垂足，连AD交BC于G，CG=3，DE=4，求DBDG的值。FOECDBAOCFEDBAEAOFDCB例题4（2009调考）：如图，已知△ABC中，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为的中点，AF为△ABC的角平分线，且AF⊥EC。（1）求证：AC与⊙O相切；（2）若AC＝6，BC＝8，求EC的长家庭练习：1．如图，Rt△ABC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，，过D作AE的垂线，F为垂足.（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若DF=3，⊙O的半径为5，求tanBAC的值.2．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，，过D作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足.（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）若AC=6，BD=5，求sinE的值.OFHEDCBABDBD=DEAD=DCOCFEDBAOFEDCBAOEDCBA3．如图，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AB延长线上一点，过D作⊙O的切线，E为切点，连结CE交AB于点F.（1）求证：DE=DF；（2）连结AE，若OF=1，BF=3，求tanA的值.4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，以AB上一点O为圆心过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于点一点E，EF⊥AC于点F.（1）求证：⊙O与AC相切；（2）若EF=3，BC=4，求tanA的值.5．如图，等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，DE⊥AC于E.（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若BC=45，AE=1，求cosAEO的值.6．如图，BD为⊙O的直径，A为的中点，AD交BC于点E，F为BC延长线上一BCFOEDCBAFMHONEDCBA点，且FD=FE.（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若AE=2，DE=4，△BDF的面积为83，求tanEDF的值.7、如图，AB是⊙O的直径，M是线段OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE3，求AM的长．8、如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，过点C作⊙O的切线CE，点D是CE延长线上一点，连结AD，且AD+BC=CD.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）设OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求线段BC的长.9、如图，△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且CD=BD.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知点M、N分别是AD、CD的中点，BM延长线交⊙O于E，EF∥AC，分别交BD、BN的延长线于H、F，若DH=2，求EF的长.FOEDCBANMFOECBADAOFECB10、如图，AB是半⊙O上的直径，E是⌒BC的中点，OE交弦BC于点D，过点C作交AD的平行线交OE的延长线于点F.∠ADO=∠B.（1）求证：CF为⊙O的⊙O切线；（2）求sin∠BAD的值.11、如图，⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长OFEDCBA