大学概率论必背公式

大学概率论必背公式一、概率1.加法公式：对任意两事件A、B，有P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)2.设A、B是中的两个事件，且P(B)0，称)()()|(BPABPBAP为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。事件A、B的概率乘法公式：)()|()(BPBAPABPP(ABC)＝P(C|AB)P(B|A)P(A)3.全概率公式：设B1，…,Bn是的一个划分，且P(Bi)0，(i＝1，…，n)，则对任何事件A，有niiiniiBAPBPABPAP11)|()()(＝)(注：全概率公式应用范围随机试验可以看成分两阶段进行，且第一个阶段的试验结果是不确定的，我们需要求的是第二阶段的结果发生的概率，这时候用全概率公式。4.贝叶斯公式：设B1，…,Bn是的一个划分，且P(Bi)0，(i＝1，…，n)，则对任何事件A，有),...,1(,)|()()|()()()|()()|(1njBAPBPBAPBPAPBAPBPABPniiijjjjj注：贝叶斯公式应用范围随机试验可以看成分两阶段进行，且第一个阶段的试验结果是不确定的，但第二个阶段的某个结果是已知的，我们需要求的是第二阶段的这个结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，这时候用贝叶斯公式5.设A、B是两事件，P(B)0,若P(A)＝P(A|B)则称事件A与B相互独立。若A,B独立，且P(A)0,P(B)0，则A,B一定相容6.贝努力概型：(1)En中成功k次的概率(即n重贝努里试验中A发生k次的概率)是,)1()(knkknnppCkP)0(nk（2）中首次成功发生在第k次试验的概率(即可列重贝努里试验中A首次发生在第k次试验的概率)是,...)2,1(,)1(1kppk(3)中第r次成功发生在第k次试验的概率(即可列重贝努里试验中A发生r次需要k次试验的概率)是,)1(11rrkrkppC)kr1(二、离散性随机变量及其分布1.,2,1},{的分布律..kxXPpXvrkk或或2.分布律的性质1(2)1.kkp3.几个常见的离散型分布（1）(0－1)分布(两点分布)（2）几何分布(G(p))一次试验中只考虑某事件A出现或不出现，设P(A)=p，P(A)=1-p。现重复独立地做试验，一旦A发生就立即停止试验。以X表示A首次发生所需的试验次数，则其分布率为：称X服从参数为p的几何分布。（3）二项分布(B(n,p))以X记n重贝努里试验中A发生的次数，则其分布率为：(1)0,,()1,,()kknknppknPXkC称X服从参数为(n，p)的二项分布，记为X~B(n，p)（4）泊松(Poisson)分布(P())若随机变量X的所有取值为一切非负整数，且其分布律为：其中0为常数，称X服从参数为的泊松(Poisson)分布，记为X~P()。查表（5）二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律：4.边缘分布律：若随机变量X与Y的联合分布律为则称为(X,Y)关于X的边缘分布律；称为(X,Y)关于Y的边缘分布律。,!)1(limekppCkknnknknn＝5.一维离散型随机变量函数的分布律设X一个随机变量，若y＝g(x)是一元单值实函数，则Y＝g(X)也是一个随机变量。其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。三、随机性随机变量及其分布1.密度函数对于随机变量X，若存在非负可积函数f(x)，(-，使对任意实数x，都有xduufxXPxF)()()(＝＝则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。记为X～f(x),(-x+)2.密度函数的性质(3)若x是f(x)的连续点，.)()(dxxdFxf（4）（5）对bR，若X～f(x)，(-，则P{X=b}＝0。即：连续型随机变量取单点值的概率为零。3.几个常用的连续型分布（1）均匀分布U(a,b)则称X在(a,b)内服从均匀分布。记为X~U(a,b)()()baPaXbfudu＝bxbxaabaxaxxF,1,,0)((2).指数分布()E则称X服从参数为的指数分布。0,00,1)(xxexFx(3)正态分布(高斯(Gauss)分布)其中0，为实数，则称X服从参数为(，)的正态分布,三个特性：i.其图形关于直线x=对称；参数的正态分布称为标准正态分布，其密度函数表示为.,21)(22xexxN(0,1)的性质：1,024.联合分布函数设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)R^2,则称F(x,y)=P{Xx,Yy}为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。联合分布函数F(x,y)具有如下性质：(1)非负规范5.边缘分布6.二维连续型随机变量及其密度函数联合密度f(x,y)的性质7.边缘密度函数8.条件密度函数||(,)1(),()(,)2(),()XYYYXXfxyfxyYyXfyfxyfyxXxYfx）称为下的条件密度函数）称为下的条件密度函数性质：设(X,Y)～f(x,y),(x,y)R2,fX(x),fY(y)分别为X与Y的边缘密度，则X与Y相互独立等价于f(x,y)＝fX(x)fY(y)，对任意(x,y)R29.密度函数：连续型随机变量函数的密度函数（1）一维变量-分布函数法（2）多个随机变量函数的密度函数-分布函数法（3）几个常用函数的密度函数a.和的分布若X与Y相互独立，则Z＝X＋Y的密度函数称为连续型随机变量的卷积公式。.)()(＝)()()(或dxxzfxfdyyfyzfzfYXYXZb.极大(小)统计量的分布四、随机变量的数字特征1、离散型随机变量的数学期望离散型随机变量X，其分布律为：数学期望E(X)是一个常数,而非变量．它是一种以概率为权的加权平均值（1）X~（0—1）分布（2）X~B（n，p）二项分布（3）X~（或）Poisson分布2.连续型随机变量的数学期望,2,1,}{kpxXPkk（1）X~U(a，b)均匀分布其概率密度函数为：（2）指数分布X服从参数为的指数分布，其概率密度函数为：（3）正态分布3、对于r.v.X的函数的数学期望elsewherebxaabxf,0,1)(一维：二维：4、数学期望的性质5、方差是衡量随机变量取值与其均值的偏离程度的一个数字特征。若E(X)存在，则称E[XE(X)]2为r.v.X的方差，记为D(X),或Var(X).D(X)=E(X2)[E(X)]2.（1）两点分布：（2）X~B（n，p）二项分布（3）X~（或）Poisson分布（4）X~U(a，b)均匀分布（5）指数分布概率密度函数为)1()(pnpXD（6）正态分布X~N()6、方差的性质7、协方差若r.v.X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,则称E{[XE(X)][YE(Y)]}为X与Y的协方差,记为Cov(X,Y).即Cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}.常用公式Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)。8、相关系数：若r.v.X，Y的方差和协方差均存在,且D(X)0,D(Y)0，则称为X与Y的相关系数.X与Y不相关Cov(X,Y)=0E(XY)=E(X)E(Y)。8、矩（1）k阶原点矩E(Xk),k=1,2,…而E(|X|k)称为X的k阶绝对原点矩；（2）k阶中心矩E[XE(X)]k,k=1,2,…而E|X-E(X)|k称为X的k阶绝对中心矩；2,数学期望、方差、协方差等都是一些特殊的矩。五、样本及抽样分布1、常用统计量（1）样本均值（样本平均数）（2）样本方差（3）k阶样本矩2、抽样分布统计量的分布称为抽样分布。（1）2—分布性质：A.可加性若1~2(n1)，2~2(n2)，1，2独立，则1+2~2(n1+n2)。B.期望与方差若~2(n)，则E()=n，D()=2n。（2）t—分布若~N(0,1),~2(n),与独立，则t(n)称为自由度为n的t—分布性质：A.f(t)关于t=0(纵轴)对称。f(t)=f(t)。B.f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即（3）F—分布若1~2(n1)，2~2(n2)，1，2独立，则F(n1,n2)称为第一自由度为n1，第二自由度为n2的F—分布。性质：3、正态总体的抽样分布六、参数估计（重&难）1、矩估计法用样本矩作为总体同阶矩的估计，从而解出未知参数的方法称为矩估计法或矩法。2、极大似然估计法(1)解似然方程法称为未知参数j的似然方程。若该方程有解，则其解就是(2)直接法由似然方程解不出j的似然估计时，可由定义通过分析直接推求。解：X的概率密度为：3、无偏性.的无偏估计量是ˆ则称)ˆ(若,的估计量为),,(ˆˆ设1EXXn4、正态总体参数的区间估计（双侧）（1）单正态总体均值的置信区间.的置信区间求出,,，由观测值给定),，(，，设121~niidnxxNXXA.已知B.未知（2）.单正态总体方差的置信区间（经管类非重点）A.未知B.已知即得2和的置信度为1的置信区间分别为七、假设检验（略）综上有单个正态总体的检验表：1、:的假设检验关于均值2、:的假设检验关于均值2