中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题四】专题解析

数学专题之【以三角形为基础】精品解析———————————————————————————————————————1中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题四】专题解析1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC．（1）如图1，当∠APB＝90°时，①求证：PC平分∠ACB；②若PC＝62，求BC的长；（2）如图2，当∠APB＝60°，PC＝52时，求BC的长．（1）①证明：过点P分别作AC、BC的垂线，垂足为E、F则四边形ECFP是矩形，∠EPF＝90°∵∠APB＝90°，∴∠EPA＝∠FPB＝90°－∠APF又PA＝PB，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴△PEA≌△PFB∴PE＝PF，∴矩形ECFP是正方形∴PC平分∠ACB②解：延长CB至D，使BD＝AC＝5，连接PD∵在四边形ACBP中，∠ACB＝∠APB＝90°∴∠PAC＋∠PBC＝180°∵∠PBD＋∠PBC＝180°，∴∠PAC＝∠PBD又PA＝PB，AC＝BD，∴△PAC≌△PBD∴PC＝PD，∠APC＝∠BPD∵∠APC＋∠BPC＝90°，∴∠BPD＋∠BPC＝90°即∠CPD＝90°，∴△PCD是等腰直角三角形∴CD＝2PC＝12∴BC＝CD－BD＝12－5＝7（2）以AC为边向外作等边三角形ACD，作DE⊥BC于E，连接DB则DE＝12AC＝52，CE＝32AC＝523∵PA＝PB，∠APB＝60°，∴△PAB是等边三角形∴AB＝AP，∠BAP＝60°＝∠DAC，∴∠DAB＝∠CAP又AD＝AC，∴△ADB≌△ACP∴BD＝PC＝52在Rt△BDE中，由勾股定理得：(52)2＋(523＋BC)2＝(52)2，解得BC＝52(7－3)ACBP图2ACBP图1ACBP图1DEFACBP图2EDAEA数学专题之【以三角形为基础】精品解析———————————————————————————————————————22．在平面直角坐标系中，已知点A（5，0），点B在第一象限，且AB与直线l：y＝34x平行，AB长为8，若点P是直线l上的动点，求△PAB的内切圆面积的最大值．解：∵AB∥直线l，点P在直线l上∴△PAB的面积S△PAB是定值设△PAB的内切圆的半径为r，则S＝12PA·r＋12PB·r＋12AB·r∴r＝2S△PABPA＋PB＋AB∵AB长为8，是定值，∴当PA＋PB最小时，r最大，从而内切圆面积最大作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，连接PB，则PA＋PB最小此时PA＋PB＝PA＋PB′＝AB′∵点B和点B′关于直线l对称∴直线l垂直平分线段BB′∵AB∥直线l，∴AB⊥BB′∴△ABB′是直角三角形且∠ABB′＝90°作AM⊥直线l于M，作MN⊥OA于N，设M（m，34m）则ON＝m，MN＝34m，OM＝54m由△OAM∽△OMN，得AMOA＝MNOM＝35∴AM＝35OA＝35×5＝3，∴BB′＝2AM＝6又AB＝8，∴AB′＝10∴r＝2S△PABAB＋AB′＝AB·AMAB＋AB′＝8×38＋10＝43∴△PAB的内切圆面积的最大值是：π×(43)2＝169π3．已知△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4．过点C作直线l∥AB．点D在线段BC上，点E在直线l上．若∠ADE＝120°，CE＝1，求DC的长．解：①当点E在点C上方时，如图1在AC上取点F，使DF＝DC，连接DF∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝30°ABOyxlABOyxlB′PMN数学专题之【以三角形为基础】精品解析———————————————————————————————————————3∴∠DFC＝∠DCF＝30°∴∠FDC＝120°，∠DFA＝150°∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠BAC＝120°∴∠DCE＝150°，∴∠DFA＝∠DCE∵∠ADE＝∠FDC＝120°∴∠ADF＝∠EDC＝120°－∠FDE在△ADF和△EDC中∠ADF＝∠EDC，DF＝DC，∠DFA＝∠DCE∴△ADF≌△EDC，∴AF＝CE＝1∴FC＝AC－AF＝4－1＝3过D作DG⊥AC于G，则GC＝12FC＝32∴DC＝GCcos30°＝3②当点E在点C下方时i）情形1，如图2在CA延长线上取点F，使DF＝DC，连接DF则∠F＝∠DCF＝∠DCE＝30°，∴∠FDC＝120°又∵∠ADE＝120°，∴∠ADF＝∠EDC＝120°－∠ADC∴△ADF≌△EDC，∴AF＝CE＝1∴FC＝AC＋AF＝4＋1＝5，∴DC＝533ii）情形2，如图3过D作DF⊥AC于F，过E作EG⊥BC于G则∠BDF＝90°＋30°＝120°又∵∠ADE＝120°，∴∠ADF＝∠EDG＝120°－∠ADB∴△ADF≌△EDG，∴AFDF＝EGDG设DC＝x，则DG＝32－x∴4－32x12x＝1232－x解得x1＝53＋393＞43（舍去），x2＝53－393综上所述，DC的长为3或533或53－3934．如图1是边长分别为43和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合），固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于F（如图2）．（1）探究线段BE与AD之间的大小关系，并证明你的结论；（2）将图2中的△CDE沿射线CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE记为△ABDCElF图1GABDCElF图2FCBA图3lEDG数学专题之【以三角形为基础】精品解析———————————————————————————————————————4PQR（如图3），当点Q与点F重合时停止平移．设△PQR移动的时间为t秒，△PQR与△AFC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，如果对于同一个S的值，对应的t值恰好有两个，直接写出t的取值范围．解：（1）BE＝AD证明：∵△ABC，△CDE都是等边三角形∴AC＝BC，DC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝60°∵∠BCE＝30°，∴∠ACE＝30°∴∠ACD＝30°，∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE，BE＝AD（2）当点R恰好落在AC上时（如图1）∵∠ACF＝30°，∠RPQ＝60°，∴∠PRC＝90°∴PC＝2PR＝6，QC＝6－3＝3又∵CF＝BC·cos30°＝43×32＝6∴PC＝CF，此时点P与点F重合所需时间t1＝3÷1＝3（秒）当点R恰好落在AB上时（如图2）所需时间t2＝(6－32)÷1＝92（秒）当点Q与点F重合时，所需时间t3＝6÷1＝6（秒）此时点P与点F重合，所需时间为3秒①当0≤t≤3时（如图3）设PR、RQ分别交AC于M、N∵∠ACF＝30°，∠PQR＝60°，∴∠QNC＝30°∴QN＝QC，∠RNM＝∠QNC＝30°∴∠RMN＝90°，RN＝RQ－NQ＝RQ－QC＝3－t∴∠RM＝12(3－t)，MN＝32(3－t)∴S△RMN＝12MN·RM＝38(3－t)2而S△PQR＝12×3×3×32＝934CAE′BD′(C′)图1CAEB(C′)图2DFCAQB图3FPRCAQB图1FR(P)CAQB图4FPRGCAQB图3FPRMNCAQB图2FPR数学专题之【以三角形为基础】精品解析———————————————————————————————————————5∴S＝S△PQR－S△RMN＝934－38(3－t)2即y＝－38t2＋334t＋938②当3＜t≤92时（如图4）设PR交AB于G，则PF＝t－3，GF＝3(t－3)∴S＝S△PQR－S△PFG＝934－32(t－3)2即y＝－32t2＋33t－934③当92＜t≤6时（如图5）设RQ交AB于H，则FQ＝6－t，HQ＝3(6－t)∴S＝S△FQH＝32(6－t)2（3）0≤t≤92且t≠35．在等腰△ABC中，AB＝AC，边AB绕点A逆时针旋转角度m得到线段AD．（1）如图1，若∠BAC＝30°，30°＜m＜180°，连接BD，请用含m的式子表示∠DBC的度数；（2）如图2，若∠BAC＝60°，0°＜m＜360°，连接BD、DC，直接写出△BDC为等腰三角形时m所有可能的取值________________________；（3）如图3，若∠BAC＝90°，射线AD与直线BC相交于点E，是否存在旋转角度m，使AEBE＝2，若存在，求出所有符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵AB＝AD，∠BAD＝m∴∠ABD＝∠ADB＝90°－12m∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝75°－(90°－12m)即∠DBC＝12m－15°（2）30°、120°、210°、300°分四种情况，如图所示ABDC图1ABDC图2ABDC图3ECAQB图5FPRHCABD数学专题之【以三角形为基础】精品解析———————————————————————————————————————6（3）存在两个符合条件的m的值，m＝30°或m＝330°如图1，当点E在线段BC上时，作EF⊥AB于F在△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°在Rt△BEF中，∵∠FBE＝45°，∴BE＝2EF在Rt△AEF中，∵AEBE＝2，∴AE＝2BE＝2EF∴sinm＝EFAE＝12，∴m＝30°如图2，当点E在CB延长线上时，作EF⊥AB于F则BE＝2EF∵AEBE＝2，∴AE＝2BE＝2EF∴sin∠EAF＝EFAE＝12，∴∠EAF＝30°∴m＝330°6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点．（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝CF，求证：△AED≌△CFD；（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△FED的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点∴∠BAD＝∠DAC＝∠B＝∠C＝45°∴AD＝BD＝DC∵AE＝CF，∴△AED≌△CFD（2）解：依题意有：FC＝AE＝x∵△AED≌△CFDABCDEF图1ABCDEF图2ABDCE图1FABDCE图2FCAEBDCABDCABD数学专题之【以三角形为基础】精品解析———————————————————————————————————————7∴S四边形AEDF＝S△AED＋S△ADF＝S△CFD＋S△ADF＝S△ADC＝9∴S△EDF＝S四边形AEDF－S△AEF＝9－12(6－x)x＝12x2－3x＋9∴y＝12x2－3x＋9（3）依题意有：AF＝BE＝x－6，AD＝DB，∠ABD＝∠DAC＝45°∴∠DAF＝∠DBE＝135°∴△ADF≌△BDE，∴S△ADF＝S△BDE∴S△EDF＝S△EAF＋S△ADB＝12(x－6)x＋9＝12x2－3x＋9∴y＝12x2－3x＋97．如图1，过△ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图2），这时EF为折痕，且△BED和△CFD都是等腰三角形，再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH（如图3），我们称矩形EFGH为△ABC的边BC上的折合矩形．（1）若△ABC的面积为6，则折合矩形EFGH的面积为__________；（2）如图4，已知△ABC，在图4中画出△ABC的边BC上的折合矩形EFGH；（3）如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC＝2a，那么，BC边上的高AD＝_________，正方形EFGH的对角线长为__________．（1）3（2）作出的折合矩形EFGH为网格正方形（3）2a，2a8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边B