浅析Riemann积分与Lebesgue积分的联系和比较

答辩人：导师姓名：所学专业：数学与应用数学浅析Riemann积分与Lebesgue积分的联系和比较绪论R积分与L积分的联系和比较一些相关定理的推广及应用小结论文答辩主要内容1绪论R积分与L积分是微积分理论的重要组成部分，它在数学分析和实变函数以及其他科学领域中都占有重要的位置。同时，它又贯穿了分析数学的许多重要方面。本文从微积分的发展过程出发引出了我们已知的R积分，尽管R积分的理论比较完善，但在考虑某些问题时，我们看到了R积分的局限性。于是就有了改造R积分的必要性,从而提出了L积分。2R积分与L积分的联系和比较•2.1定义的比较R积分的定义如下：设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数。若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任何分割，以及在其上任意选取的点集，只要，就有则称在上可积或R可积；数称为在上的定积分或R积分，记为fx,abJTiT1(),niiifxJfx,abJ,ab().baJfxdx,abL积分的定义如下:设是一个Lebesgue可测集,,是定义在上的Lebesgue可测函数,又设是有界的，就是说存在及使得,在中任取一分点组，记并任取（我们约定，当时，）E()mE()fxE()fxl,()(,μ)fEl,μlD01nllll11()max()kkknDll1(())kkkEElfxlkkEkE()()0kkfmE作和如果对任意的分法与的任意取法，当时，趋于有限的极限，则称它为在上关于L测度的积分，记作它们的主要区别是：R积分是将给定函数的定义域分小而产生的，而L积分是划分函数的值域而产生的。前者的优点是的度量容易给出，但当分法的细度充分小时，函数在上的振幅1()()()nkkkSDfmEk()0D()SD()fxE()EJfxdx1,iiixxT()fxi仍可能较大；后者的优点是函数在上的振幅较小，但一般不再是区间，而是可测集。其度量的值一般不易给出。对定义域与对值域的分割是R积分与L积分的本质区别，对值域进行分割求积分的方法使中的点分成几大类，更简单明了。sup()inf()iiixxfxx()fxkEsup()inf()()kkkxExEfxxDkE()kmEE•2.2存在条件的比较Riemann可积函数类可由以下三个定理给出：定理1若为上的连续函数，则在上可积。定理2若是上只有有限个间断点的有界函数，则在上可积。定理3若是上的单调函数，则在上可积。f,abf,abf,abf,abf,abf,abLebesgue可积函数类的要求:设是可测集上的连续函数，则在上L可积的充要条件是在上L可测且几乎处处有限。同时L积分给出了R可积的一个比较好的充要条件：函数在上R可积的充要条件是在上一切间断点构成一个零测度集。这说明R可积函数是几乎处处连续的。例如Riemann函数()fx(())ERmE()fxE()fxE()fx,ab()fx,ab为无理数，当为互质的整数）当xpqqqpxqxf0,,0(/,/1)(•2.3主要性质的比较R积分的主要性质：(1)(线性性质)若函数，在上可积,则在上可积,且(2)(区域的可加性)若函数在上可积,那么它在任一子集上也可积,且(3)(单调性)与在上可积,且满足则(4)(绝对值不等式性)若是上的可积函数,则()fx()gx,ab12()()kfxkgx,ab1212(()())()().bbbaaakfxkgxdxkfxdxkgxdx()fx,ab()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx()fx()gx,ab()()fxgx()()bbaafxdxgxdx()fx,ab()()().bbbaaafxdxfxdxafxdx(5)(绝对可积性)若在上可积,则在上也可积.L积分的主要性质:(1)(线性性质)若函数，在可测集上可积,则在其上可积，且(2)(可加性)设互不相交，在上有积分时,在每个上有积分,且(3)(单调性)与在上可积,且满足则()fx,ab()fx,ab()fx()gx12()()kfxkgx1212()()()()EEEkfxkgxdxkfxdxkfxdx(1,2,3,)nEEn1nnEE()fxE()fxnE1()().nEEnfxdxfxdx()fx()gx()()fxgx()().EEfxdxgxdxE()fxE()fxE()()EEfxdxfxdx()fxE()fxEqERfLE00AEmA()()AAfxdxfxdx(4)(绝对值不等式性)若是上的可积函数,则是上的可积函数，且(5)(绝对可积性)若在上可积在上可积.(6)(积分的绝对连续性)设为可测集，，则对于任意的.存在.使得对于任意的可测集,只要,就有(7)(列维定理)设为可测集，为上的一列非负可测函数，当时对于任一自然数，若有，令，则(8)(法图引理)设为可测集，为上的一列非负可测函数，则qER1nnfExEn1()()nnfxfx()lim(),nnfxfxxElim()().nEEnfxdxfxdxqER1nnfElim()lim().nnEEnnfxdxfxdx2.4积分极限换序方面的比较Lebesgue控制收敛定理：设（1）是可测集上的可测函数列；（2）几乎处处于且在上可积；（3）几乎处处于；则在上可积，且设，将条件（2）改为，则定理结论仍成立，这也叫做L积分的有界收敛定理。例求()nfxE()()nfxFxE()FxE()()nFxfxE()fxElim()lim()nEEnnfxdxfxdx()mE()nfxM0,3lim15nnnIxdx3一些相关定理的推广及应用定理6设是上的绝对连续函数，则几乎处处有定义的在上勒贝格可积，且即总是上可积函数的不定积分。定理5设在上可积，则存在绝对连续函数，使得于。()fx,ab()Fx'()()Fxfx..ae,ab()Fx,ab'()Fx,ab'()()(),xaFxFaFtdt()Fx,ab定理4设在上可积，则其不定积分是绝对连续函数。()fx[,]ab•3.1积分与微分互逆关系的推广•3.2重积分化累次积分的推广及应用定理9若在如的型区域上连续,其中在上连续，则定理10（1）设在上非负可测，则对的，作为的函数在上可测，且（2）设在上可积，则对的，作为的函数在上可积，又作为的函数在上可积且（1）式成立。,fxy12,,DxyyxyyxaxbxD12,yxyx,ab21,,.byxayxDfxyddxfxydy(),fPfxypqABR..aexA,fxyyB(),.ABABfPdPdxfxydy(),fPfxypqABR..aexAyB,BfxydyxA4小结从狭义上来说，L积分可以看作是R积分的改进和推广。我们又可以看到，L积分并没有完全否定和抛弃积分，它的建立是以R积分为基础的。这启发我们在做研究时应从不同角度来考虑一些现有概念和理论，有时可能导致新的概念和理论。致谢在论文的完成过程中，我得到了赵晨萍老师的精心指导和悉心帮助，在此谨向赵老师致以最崇高的敬意和最衷心的感谢！