浅析中学数学中柯西不等式的应用

浅析中学数学中柯西不等式的应用刘小菲引言：柯西不等式在中学数学中的广泛的应用，它在中学数学特别是中学数学奥林匹克竞赛有着不容忽视的作用。它在20届的IMO，26届的IMO以及1987年CMO集训队试题等数学竞赛题中都有直接或者间接利用到。作为一个基础不等式，它在高等数学中也起到重要的作用，在数学分析、概率论和泛函分析中都有所涉及，并且对证明其它不等式都有很大的作用。本文先从三个不同的方法出发给出了柯西不等式的证明，并结合近年来中学数学，包括中学数学竞赛中的实例，采用从易到难的方法讨论了柯西不等式在证明不等式、求函数极值，解几何问题等方面的应用，并且描述了柯西不等式的几何意义，以及柯西不等式的推广形式。1.柯西不等式的证明柯西不等式的内容是：定理：设,iiabR（i=1,2……n），则222111nnniiiiiiiabab（1-1）当且仅当1212......nnbbbaaa时，不等式等号成立。对于这个定理有如下证法。证1：作关于x的二次函数222111()2nnniiiiiiifxaxabxb若210niia，即12......0naaa，显然不等式成立。若210niia，则有2221122()()()......()0nnfxaxbaxbaxb且210niia，所以222111[2()]4()()0nnniiiiiiiabab故222111()()()nnniiiiiiiabab从上面的证明过程看出，当且仅当1212nnbbbaaa时，不等式取等号。证2：考虑关于x的二次多项式21()nkkkaxb（1-2）即222111()2()nnnkkkkkkkaxabxb（1-3）根据（1-2），（1-3）对于一切实数x是非负的，由此推出（1-1）由（1-2）看出，当且仅当1212nnbbbaaa时，（1-1）取等号成立。证3：对于,xyR，有221122xyxy2222111122kkkkkkababab，其中0将上述不等式从1k到kn相加，得222211111122nnnkkkkkkkabab选取使得122222221111()nnnkkkkkkkabab则有1222111()nnnkkkkkkkabab因为11nnkkkkkkabab，由此推出222111()()()nnnkkkkkkkabab2.柯西不等式在中学数学中的应用对于柯西不等式，它在证明不等式以及求极值等方面都有很多的应用，给我们开拓了思路。2.1柯西不等式在证明不等式中的应用例1已知12,,naaa都是正数，求证：21212111()()nnaaanaaa证1：()iaRiN1212nnnaaanaaa，12121111nnnnaaaaaa21212111()()nnaaanaaa，当且仅当12naaa时等号成立。证2：构造两个数组：12,naaa；12111,naaa利用柯西不等式有22211`111()[()][()]nnniiiiiiiaaaa即21111(1)()()nnniiiiiaa21212111()()nnaaanaaa例2设(1,2,,)iaRin，且22111()1nniiiiAaan，证明：122Aaa证明：由柯西不等式，有2222222212121211()[()](111)[()](1)(2)nninniiiaaaaaaanaaa221211(1)(2)1niiiAanaaan122Aaa例3设12,,,,kaaa为各不相同的正整数，求证：对任何正整数n，有2111nnkkkakk证明：2221111111()[()]nnnnkkkkkkkkaakkkaa不妨设12kaaa，则kak，故11kak1111nnkkkak2211111()()nnnkkkkakkk，即2111nnkkkakk例4已知,0ab，4422222(1)1(1)(1)abfbabab，求证：16f证明：由题意，可得442222222222222(1)1(1)(1)(1)[(1)][(1)]ababfbaababbabba222222222(1)(1)[(1)][][]abababbaba令22(1)abgba222221()[()()][()()](1)ababgabbaba221()2()11()()24abababgabababab即4f例5证明：22221212()nnaaaaaann证明：221212()(111)nnaaaaaa2222221212()(111)()nnaaanaaa22221212()nnaaaaaann若上述不等式中12,,,0naaa，两边开平方，得2221212nnaaaaaann这就是著名的不等式：n个正数的平方平均值不小于它们的算术平均值。例6求证：对于任意实数12,aa和12,bb，下面不等式恒成立22222212121122()()aabbabab证明：由柯西不等式，得：2222212121122()()()aabbabab又2222222222222121212121212()()()2()()aabbaabbaabb222222121211221122()()2()()()aabbabababab两边开平方即得证例7证明：对于任意实数,,xyz，不等式222222()()()()()()xyyzzxxyzxyyzzx成立。证明：由柯西不等式，得2222222()()()()xyyzxyyzyxz222222()()()yzzxzyx，222222()()()zxxyxyz2222222222222()()()()()()()xyyzzxxyzxyyzzx222222,,0xyyzzx222222()()()()()()xyyzzxxyzxyyzzx