浅析二元一次方程组中消元法的应用

1浅析二元一次方程组中消元法的应用李勇勤(绿春县平河中学云南绿春662507）摘要：二元一次方程组在中学数学教学中居有及其重要的地位，求解二元一次方程组的思想主要是“消元法”。本文探讨了初中数学求解二元一次方程组最常用的代入消元法和加减消元法。消元法思想常能促成由“未知”化为“已知”，由“复杂”化为“简单”，对培养学生的观察能力，让学生体会化归思想具有十分重要的意义。关键词：二元一次方程组；消元法；代入法；加减法二元一次方程组在中学数学教学中居有及其重要的地位。从生活问题到数学问题，通过构建方程组的数学模型是解决问题的常用方法之一。在现实生活中涉及多个未知数的问题是普遍存在的，这些实际问题要用二元一次方程组来解决；在后续的学习中，如：八年级上学习一次函数、九年级下学习二次函数部分内容时，经常要用到二元一次方程组和它的求解问题；二元一次方程组是方程组中最基本的类型，通过学习它可以了解一般的一次方程组，提高对多元问题的认识。二元一次方程组中的数学思想，主要是指数学的“消元”思想，即：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少，逐一解决的方法，叫做消元[2]。具体转化方法是运用“代入消元法”或“加减消元法”，把新问题“二元”或“三元”通过消去一个未知数转化为旧问题“一元”，化“未知”为“已知”，化“复杂”为“简单”，从而实现问题的解决[1]。1常用的消元法1.1利用代入法快速求值—代入法新人教版7年级下册96页有这样的描述：在二元一次方程组的一个方程中，把一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个2二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法[4]。用代入消元法解二元一次方程组的步骤：第一步:从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来；第二步:把第一步中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数；第三步:解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值；第四步:把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解。注意：第一，运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值。第二，当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时，用代入法较简便[1]。借此消元法思想，我们可以快速地解决许多求定值的问题。例1若340xy且0xy，则3535xyxy的值等于。解：由340xy得：34xy，把34xy代入3535xyxy得35451354599xyyyyxyyyy[点评]此题巧妙借助代入法解决求定值问题。例2已知2250xx将式子2(1)(3)(3)(3)(1)xxxxx先化简再求值。解：2(1)(3)(3)(3)(1)xxxxx22221943xxxxx2365xx23(2)5xx2250xx225xx2(1)(3)(3)(3)(1)35510xxxxx[点评]利用“整体思想”将所给条件2250xx变形为225xx，然后整体代入化简后的式子23(2)5xx中，可收到“事半功倍”的效果。若先解方程2250xx，3得16x，再分别代入2365xx中求值，则没有抓住题目特征进行简便运算。例3解方程组500(1)239950(2)2010xyxy分析：这道题中的系数较繁，按常规方法去解比较麻烦．我们可以先将(2)式有目的地进行变形，再将(1)式中的xy看成一个整体代入求解．解：由(2)式可得185()9502020xyx,化简，得91()950104xyx(3)将(1)代入(3)，得91500950104x．解得2000x，代入(1)可得1500y.故方程的解为20001500xy1.2利用加减法快速求值—加减法新人教版7年级下册100页有这样的描述：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法[4]。用加减法解二元一次方程组的一般步骤:第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.注意：(1)当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法4较简便；(2)如果所给（列）方程组较复杂，不易观察，就先变形（去分母、去括号、移项、合并等），再判断用哪种方法消元好[1]。合理利用此思想，在求值题中同样可以收到事半功倍的效果。例4若4510xy，且548xy，则xyxy。解：由题意得：4510(1)548(2)xyxy由(1)+(2)得：9918xy,即：2xy由(2)-(1)得：2xy所以1xyxy[点评]若直接把4510xy和548xy组成方程组，求出方程组的解，再把解代入求值。这样运算量不仅大，而且容易出错。如果认真分析所求值式，可考虑利用加减法很快求得xy和xy的值，于是此题迎刃而解。例5解方程组200720082006(1)200620052007(2)xyxy分析：若用一般方法去解这个方程组，其复杂程度可想而知，我们采用直接加减法．解：(1)＋(2)，得401340134013xy，即1xy，(3)(1)－(2)，得31xy,(4)由(3)(4)可得21xy例6已知370(1)(0)240(2)xyzxyzxyz，则::xyz。解：方程组370(1)240(2)xyzxyz中由(2)-(1)得：30yz,即3yz(3)把(3)代入(2)中得：2xz所以有::2:3:2:3:1xyzzzz5点评：此方程组中含有三个未知数，要解决该问题，就需要大胆创新，我们初一学生只学习了解二元一次方程组，根据化“未知”为“已知”的“消元”思想，就创造性地把它看作是关于,xy的二元一次方程组，从而找到解决问题的突破口。例7有甲、乙、丙三种货物，若购甲4件，乙5件，丙1件，共需230元，若购甲7件，乙9件，丙1件，共需385元，问甲、乙、丙三种货物各购一件共需多少元？[思路点拨]题目中提供了与三种货物价格有关的问题，而这三种货物的单价之间没有关系，因此，只能把这三种货物的单价分别作为未知数，则可以设甲、乙、丙三种货物的单价为x元/件，y元/件，z元/件。显然该题只存在以下两个等量关系。①4件甲+5件乙+1件丙=230②7件甲+9件乙+1件丙=385即是说,最终只能形成两个方程组。但要解决三个未知数x、y、z的值是不可能的。事实上，题目要求的是甲、乙、丙各1件的价格，即是x+y+z的值，因此，我们不必要求出x、y、z的具体值，只要求出x+y+z这个代数式的值即可。[解]设甲、乙、丙三种货物的单价为x元，y元，z元。根据题意，可得)2(38597)1(23054zyxzyx把原方程，整理为)4(385)()43(2)3(230)(43zyxyxzyxyx①×2-③,得x+y+z=75答：甲、乙、丙三种货物各购一件需75元。[点评](1)本题之所以设出甲、乙、丙三种货物的单价分别为x元、y元、z元，就是因为能根据题目的条件，列出两个方程，组成为方程组，但是组成的方程组中含有三个未知数，又不能直接求得x、y、z的值，也就是说设出的未知数的值不能求得。事实上也不要求出x、y、z的具体值，只要求出x+y+z的值，这种解题的思想方法，显然属设而不求的数学思想方法。(2)在解方程组时，我们将方程组转化成含有(3x+4y)和(x+y+z)这两个未知部分的目的，就是不想求x、y、z的单个的具体的值，想求出x+y+z的值，这种变形转化的方法，就是“整体”的思想方法。之所以运用“整体”的思想，求代数式x+y+z的值，是因为6我们通过审题后，求解的目的性很明确——不求设出的未知数的单个的具体值，只求代数x+y+z的值，这一点我们必须明确。例8某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机。已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。(1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元。在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？(3)若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案。[思路点拨]本题提供了购买了不同型号的三种电视机的背景材料。(1)问要求从这三种不同型号的电视机中选择两种不同电视机，这是数学模型中的“三选二”，即要求我们按分类的思想来研究讨论该数学问题，而该问题又可归结为列方程组解应用题的数学问题。(2)问获利问题主要是根据(1)问提供的方案，进行计算，那么确定销售利润最多的方案就迎刃而解了。(3)问是同时购买三种不同型号的电视机，根据背景材料虽然只能建立两个等式组成方程组，那么该问题就是我们过去研究过的“不定方程组的解”的问题。注意在所有结论中都要求结果是正整数解。[解]设商场购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，丙种电视机z台。(1)i当购进的是甲、乙两种电视机时，由900002100150050yxyx2525yxii当购进的是甲、丙两种电视机时，由900002500150050zxzx1535zxiii当购进的是乙、丙两种电视机时，由900002500210050zyzy得此方程组无正整数解。答：商场可以有两种方案：一是购甲种电视机25台，乙种电视机25台；二是购甲种电视机35台，丙种电视机15台。(2)方案一：获利25×150+25×200=8750（元）；7方案二：获利35×150+15×250=9000（元）。显然选择方案二获利最多。(3)据题意得)2(90000250021001500)1(50zyxzyx②两边同时除以100得15x+21y+25z=900③由①、③消去x得z=15-53y由于x、y、z都是正整数，∴y=5,10,15,20。方程组的正整数解共有四组：;12,5,33zyx;9,10,31zyx;6,15,29zyx.3,20,27zyx方案一：购甲种电视机33台，乙种电视机5台，丙种电视机12台；方案二：购甲种电视机31台，乙种电视机10台，丙种电视机9台；方案三：购甲种电视机29台，乙种电视机15台，丙种电视机6台；方案四：购甲种电视机27台，乙种电视机20台，丙种电视机3台。[评注]本题从形式上看，属决策型应用题。但通过对应用题的条件和结论进行整理、整合发现，该决策型问题又可归结为：(1)问实