空间向量典型例题

空间向量与立体几何一、非坐标系向量法1．已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC内的射影为ABC△的中心，则1AB与底面ABC所成角的正弦值等于（）A．13B．23C．33D．232．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为33，MN，分别是ACBC，的中点，则EMAN，所成角的余弦值等于．3.已知正四面体ABCD中，E、F分别在AB，CD上，且，，则直线DE和BF所成角的余弦值为（）A、B、C、D、4.如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形且C1CB=C1CD=BCD，（1）证明：C1CBD；（2）当1CDCC的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明。134133134133ABAE41CDCF41ADCBADCB1111二、坐标系向量法1．如图,在直三棱柱中,,,,点是的中点(1)求异面直线与所成角的余弦值(2)求平面与所成二面角的正弦值.2、如图,直棱柱中,分别是的中点,.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)求二面角的正弦值.3、如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.4．如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA=60°。（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。B1C1D1A1CDABPMABDCO5．如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，4ABC,OAABCD底面,2OA,M为OA的中点。（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。6．如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC．（Ⅰ）求证：PCAB；（Ⅱ）求二面角BAPC的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．ACBDP7．如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，4ABC,OAABCD底面,2OA,M为OA的中点，N为BC的中点。（Ⅰ）证明：直线MNOCD平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。NMABDCO