浅析向量在高中数学中的角色

1浅析向量在高中数学中的角色海南省琼中县阳江农场中学高中数学教师：连辉华2009-4-14在高中数学新课程教材中，在必修二学习空间几何体，点、线、面的位置关系，接着必修四第二章学习平面向量，让学生对向量有了初步认识，到选修2-2的空间向量与立体几何充分将之前学过的内容有机的结合在一起，用向量解决空间几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果，比起过去的常规法解决空间几何问题有了更深刻更新颖的认识。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，空间几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。根据2009年的《高考大纲》数学科目在2008年的考纲的基础上基本没有变动。这一特点说明全国高考数学科的考试通过多年的探索、改革，已逐渐趋于稳定的格局，形成“保持稳定，注重基础，突出能力，着力创新”的特色。《考纲》强调了对数学基础的考查。对数学基础知识的考查，要既全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体，注重学科的内在联系和知识的综合性，不要刻意追求知识的覆盖面，从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度。我仔细研读《考纲》对“考试内容”的具体要求，不难发现，其重点内容集中在函数、导数、三角函数、向量、概率与统计、数列、不等式、直线与平面、直线与圆锥曲线等是支撑数学学科知识体系的重点内容。所以在这里依据考纲，在全面复习的基础上重点把握个别热点问题。现在我就以对向量在高考中扮演的角色及向量的教学与成果，总结以下几点认识与同行进行分析、共享，希望能抛砖引玉。1．空间向量在高中数学中的地位和作用用空间向量处理某些立体几何问题，可以为学生提供新的视角。在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决立体图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，从而提高学生的空间想象能力和学习效率。这相对过去要有很强的空间立体思维即利用做几条辅助线或者平移线段解决问题这些方法来的更加方便。2．向量在高考中的地位提升电脑在改朝换代，科技在日异更新，等等无不说明了一个现象：事物是会随着时间的推移为了适应环境而逐步在进化，这是达尔文的进化思想。同理，从2002年起，随着中学教改的逐步深入，对新课程的命题已经提高了要求，这些新增内容的考查形式和要求也相应发生变化，向量、导数等知识已经由前两年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时必不可少的工具，成为综2合运用数学知识，多角度展开解题思路的重要教材。所以对这些教材的深入使得新课程计划与现行教学情况相比，教学时间比较紧张，复习时间相对短，通常我考查层次会控制在基本题和中等题上。3．在2009年的《高考大纲》中考点解析强调（1）向量：分值在10分左右，一般有一道小题的纯向量题，另外在函数、三角、解析几何与立体几何中均可能结合出题。向量是新增的重点内容，它融代数特征和几何特征于一体，能与三角函数、函数、解析几何、立体几何自然交汇、亲密接触。在处理位置关系、长度、夹角计算上都有优势，向量作为代数与几何的纽带，理应发挥其坐标运算与动点轨迹、曲线方程等综合方面的工具性功能，因此加大对向量的考查力度，充分体现向量的工具价值和思维价值，应该是今后高考命题的发展趋势。向量和平面几何的结合是高考选择、填空题的命题亮点，向量不再停留在问题的直接表达水平上，而与解析几何、函数、三角等知识有机结合将成为一种趋势，会逐渐增加其综合程度。（2）立体几何：分值在22分左右（两小一大），两小题以基本位置关系的判定与柱、锥、球的角、距离、体积计算为主，一大题以证明空间线面的位置关系和有关数量关系计算为主，诸如空间线面平行、垂直的判定与证明，线面角和距离的计算。试题的命题可能趋向于不规则几何体，但仍以“方便建系”为原则。4．发挥向量知识在解题中的作用。向量知识在立体几何、解析几何以及不等式等知识方面均能得到较充分的应用，因为向量具有几何形式和代数形式的双重身份，它可作为联系代数与几何的鹊桥，是中学数学知识的一个交汇点。因此向量不仅要作为一种知识去学习，更重要的是要作为一种方法、一种思想去理解，并渗透到它的本质，充分发挥它的作用，将会给学生带去不可估量的兴趣。下面我就以高考中利用空间向量解立体几何作为例题。（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(海南、宁夏)）第18题(本小题满分12分)如图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90，O为BC中点．(Ⅰ)证明：SO⊥平面ABC；(Ⅱ)求二面角A—SC—B的余弦值．证明：(Ⅰ)由题设AB=AC=SB=SC=SA，连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OA=OB=OC=22SA，且OA⊥BC，又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且SO=22SA，从而222SASOOA．OSBACOSBACM3所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO．又OBOAO．所以SO⊥平面ABC．(Ⅱ)解法一：取SC中点M，连结AM，OM，由(Ⅰ)知SO=OC，SA=AC，得OM⊥SC，AM⊥SC．∴∠OMA为二面角A—SC—B的平面角．由AO⊥BC，AO⊥SO，OBCSO得AO⊥平面SBC．所以AO⊥OM,又AM=23SA，故sin∠AMO=3632AMAO．所以二面角ASCB的余弦值为33．个人浅析：显然在解法一中用的是立体几何知识解，这里的M点考生并非容易找到，而且要说明∠OMA就是所求的二面角这无形给考生增加一定的难度，也许在这道例题比较容易找到二面角，如果换作一些找二面角复杂一点的题型考生就会不适应，所以在这里我利用空间向量来解决夹角问题。解法二：以O为坐标原点，射线OBOA，分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系Oxyz．设(100)B，，，则(100)(010)(001)CAS，，，，，，，，∵AO⊥平面SBC∴SBC的法向量为OA=（0,1,0）设平面SCA的法向量为u=（x,y,1）∵CS=（1，0，1）CA=（1，1，0）∴u⊥CSu·CS=0x+1=0x=-1u⊥CAu·CA=0x+y=0y=1∴u=(-1,1,1)OSBACxzy4∴COSu,OA=OAuOAu=311=33个人浅析：在用空间向量解立体图关键是先建系再找相关的点坐标，向量坐标，及法向量坐标，法向量一旦找到问题就变得游刃有余，在平时的教学当中我反复强调的是法向量u的设法，一般情况下是可以设为u=(x,y,1），但如果是坐标面xoz或平行xoz面的平面还有坐标面yoz面或平行yoz面的平面的法向量不能设为u=(x,y,1）,那么碰到这些问题怎么办呢？坐标面或平行坐标面的法向量的设法其实很简单,总结出坐标面xoy面或平行xoy面的法向量是u=(0,0,1)坐标面xoz或平行xoz面的法向量可以设为u=(0,1,0),坐标面yoz面或平行yoz面的法向量是u=(1,0,0)。这些特殊的平面的法向量就不需要你在解题过程花很多时间去运算寻找法向量，所以要善于用立体的眼光先观察需要寻找的平面是否特殊。（2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(海南、宁夏)）18、（本小题满分12分）如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA=60°。（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。解:（1）如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D—xyz．则A(1,0,0),C(0,1,0),C1(0,1,1),∴DA=(1,0,0)BD,，1CC=(0,0,1)，连结BD,1B1D在平面B1B1DD中，延长DP交1B1D于H设DH=(m,m,1)(m＞0)由已知DH,DA=60o，DA·DH=|DA||DH|cosDH,DAm=21122mm2m=122mB1C1D1A1CDABPABCDP1A1B1C1DxyzH5解得m=22,∴DH=（22，22，1）∴cosDH,1CC=11CCDHCCDH=222211)22()22(100=22∴DH,1CC=45o即DP与CC1所成的角为45o.（Ⅱ）平面AA1D1D的一个法向量是DC=(0,1,0)．∴cosDH,DC=212101122022，所以DH,DC=60o．可得DP与平面AA1D1D所成角为30o。个人浅析：07年建系有一点点的难度，一旦建好空间直角坐标系，法向量就好找了；而在08年高考中建系很不费力，但在找法向量却有了很大的困难，我们在这道高考题中把寻找法向量带到了一定的难度，所以我在平时的教学中一再强调要找法向量就要准确的找出所需要的点坐标，在这道题中要找向量坐标就是找出P点坐标，都知道了方向寻求突破口就有了一定的难度。所以我总结出这类立体几何题型的难点在建系和法向量的寻找。在平时教学中我也注重了这方面的训练，利用典型的各地高考空间立体几何体型去培养和巩固学生的逻辑思维。在上个学期高中数学2-1期末考试中我出了这样一道解答题：（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(山东新课标)）(19)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(Ⅰ)设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；6(Ⅱ)求二面角A1-BD-C1的余弦值.解：建立空间直角坐标系D-xyz，设DC=2则(Ⅰ)E(0,1,0),D1(0,0,2),)2,1,0(1ED,设平面A1BD的法向量为u=(x,y,1),A1(1,0,2),B(1,1,0),D(0,0,0))2,0,1(1DA,)0,1,1(DB1DA·u=x+2=0x=-2DB·u=x+y=0y=2∴u=(-2,2,1)∴u·ED1=2-2=0∴u⊥ED17∴D1E∥平面A1BD(Ⅱ)∵平面A1BD的法向量u=(-2,2,1)，可设面BDC1的法向量为v=(x,y,1),B(1,1,0),C1(0,2,2),D(0,0,0))0,1,1(DB,)2,2,0(DCDB·v=x+y=0x=1DC·v=2y+2=0y=-1∴v=(1,-1,1)cosu,v=vuvu=22222211112)2(122=33.个人浅析：在解这种类型题的时候会有多种解法，但我要求学生最好用空间向量知识去解，还一再强调学生如果在第一个问可以用向量就用向量去解，也许会给下一个问题做好了铺垫，而且整个解题过程都用空间向量去解会使学生的思路比较连贯、清晰。正如这道例题体现出来的思想。我教的两个理科班总共90人有23人能够很清楚的用了空间向量方法解出题，但这23位学生中的9位能清晰的做出问题的结果，14位学生在最后用余弦值cosu,v求解的过程出现错误，扣了点分；其余的67位学生中11位同学做出第一个问；剩下的56位学生中42位很努力的做了这道题，卷面都做的满满的，但要么出现坐标标错，要么出现法向量不懂如何去求，公式不懂等等问题；最后的14位学生在这道题是空白。由于我们这边的学生大部分初中的基础还没有打牢，到了高中起点比较低，然而让我欣慰的并不是有多少多少位学生做对了，而是我看到了大部分的学生由过去对立几解答题“可望而不可及”到“渴望而不能及”到“渴望能及”的上进心理，他们并非厌学，这42位左右的学生明知道这道题要找坐标明知道要找法向量明知道要用夹角公式，他们知道解题的轮廓、思路，尽管他们做错了但通过他们满满的解题过程却因一些点的做错而影响全盘，说明他们渴望做出！结果却做错