浅析导数在高中数学的几个简单应用

浅析导数在高中数学的若干应用程昆峰【摘要】：导数是高等数学的知识内容，是学习微积分的基础知识。高中数学人教A版新课标的编者在选修系列1和系列2中都选择增加了导数及其应用的良苦用心，一方面是为学生日后进入高等院校学习高等数学中的微积分打下牢固基础的承上作用外，在我看来，更重要的是为了让学生利用导数思想这个工具，反过来解决以前的诸如函数问题、几何意义（切线）问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题的启下作用。【关键词】：导数函数几何意义不等式数列应用一、运用导数研究函数性质导数在函数中的应用主要是会使用导数探讨函数的单调性、极值、最值等性质。我们就下面的问题加以探讨，进一步熟悉导函数的性质和分类讨论的数学思想。例1：已知三次函数32()fxxaxbxc在1x和1x时取极值，且(2)4f．(1)求函数()yfx的表达式；(2)求函数()yfx的单调区间和极值；解：(1)2()32fxxaxb，由题意得，1,1是2320xaxb的两个根，解得，0,3ab．再由(2)4f可得2c．∴3()32fxxx．(2)2()333(1)(1)fxxxx，当1x时，()0fx；当1x时，()0fx；当11x时，()0fx；当1x时，()0fx；当1x时，()0fx．∴函数()fx在区间(,1]上是增函数；在区间[1,]１上是减函数；在区间[1,)上是增函数．函数()fx的极大值是(1)0f，极小值是(1)4f．小结：函数的单调性是导数的一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，一定要把握好0)(xf与)(xf为增函数的关系、0)(xf与)(xf取极值的关系、0)(xf与)(xf为减函数的关系。用导数判断好函数的单调性与极值。二：应用导数的几何意义解题导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处切线的斜率，利用这一点，解析几何中曲线的许多有关切线问题都可以用导数来处理。例2：（2006安徽卷）若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为:（）A．430xyB．450xyC．430xyD．430xy解析：与直线480xy垂直的直线l为40xym，即4yx在某一点的导数为4，而34yx，所以4yx在(1，1)处导数为4，此点的切线430xy，故选A。除了可以利用导数的几何意义求曲线切线的斜率以外，我们还可以进一步利用它来处理两曲线交点处的切线问题：（2006高考湖南卷）曲线1yx和2yx在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是.思路解析：曲线xy1和2xy在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与x轴所围成的三角形的面积是43。小结：在解析几何中，我们求曲线的切线只需要知道曲线的方程和曲线上的任意一点，利用对函数求导就可以得到这一点的切线方程。求曲线的切线方程的方法步骤：1、通过求导数，得到曲线在该点的切线的斜率；2、在已知切点坐标和切线斜率的条件下，利用点斜式求出切线方程：三：利用导数解决不等式恒成立问题不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为mf(x)(或mf(x))恒成立，从而把不等式恒成立问题转化为求最值问题。因此，利用导数求最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法。例3：（2006年江西卷）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－23与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b由f（23－）＝124ab093－＋＝，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝12－，b＝－2f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：x（－，－23）－23（－23，1）1（1，＋）f（x）＋0－0＋f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（－，－23）与（1，＋），递减区间是（－23，1）；（2）f（x）＝x3－12x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－23时，f（x）＝2227＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2四：导数在数列中的应用在中学数学中，数列与导数、向量、三角与导数的综合题，题目新颖，但难度不大，准确应用导数知识是解该题的关键。此外，数列与函数的关系，用导数解决极为简便。例4：已知数列的首项，，前项和为且令求函数在点处的导数解：因为所以五：导数在实际中的应用例5：用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解：设容器的高为x，容器的体积为V，则V=(902)(482)xxx,(0V24)=3242764320xxx∵V′=2125524320xx由V′=21255243200xx得1210,36xx∵010x时，V′0,10x36时，V′0,x36时，V′0,所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960，并且又是最大值所以当x=10,V有最大值V(10)=1960【结束语】导数是高中数学新教材中新增内容之一，它的引人给传统的中学数学内容注入了新的生机与活力，也为中学数学解决问题注人了新的途径和方法。本文拟通过举例说明导数在证明函数单调性、求函数最值、不等式证明、求曲线的切线、数列求和等方面的应用，期望通过对导数在新课程中的地位以及在中学数学解题应用中的探讨，拓展学生的解题思路，提高学生分析问题和解决问题的能力。参考文献［1］华东师大数学系编《数学分析》高等教育出版社2007.6［2］窦宝泉：《导数在数学中的应用》数学通讯2012.12［3］赵大鹏：《3+X高考导练.数学》中国致公出版社2012.6［4］王宜学：《沙场点兵.数学》辽宁大学出版社2011.5［5］陆婉珍、李士编《课外数学》辽宁人民出版社2011.7