浅析平面图形翻折的求解策略

浅析图形翻折的求解图形翻折问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，可提高空间想象能力和推理论证能力，是高考在知识交汇处命题的热点，在平面几何，解析几何，解三角形，空间几何中都可考查翻折问题，下面举例说明，供参考。例1如图，已知在矩形ABCD中，CD=2,AD=3,P是AD上的一个动点，且和A,D不重合，过P作PECP交AB于E,设PD=x,AE=y.(1)写出y关于x的函数关系式并指出x的取值范围；A1CDPBEA(2)是互存在点P，使AEP沿PE翻折后，点A落在BC上，并注明此结论。分析:利用相似性写出y关于x的函数关系式，利用翻折对称性质求解(2).解析:(1)PECP,AEP=CPD,AEP∽DPC，DCAPPDEA，又PD=x,AE=y,AP=3-x,CD=2,23xxy即y=-21x2+23x(0x3).(2)不存在这样的点P。证明:假设存在这样的点P，使AEP沿PE翻折后，点A落在BC上的点A1处，则A1E=AE=y,,BE=2-y,连接AA1，A，A1关于PE对称，PEAA1，PECPAA1||PC，BA1=x，在RtA1BE中，x2+(2-y)2=y2,将y=-21x2+23x代入上式得3x2-6x+4=0,=62-4×3×4=-120,这样的点P不存在.评注;本题主要考查翻折对称性质在平面几何中的应用(注意哪些量变那些不变，那些对称垂直)以及反证法在存在性判断中的应用。举例2如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，以某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B；折痕l与AB交于点E，点M满足关系式BEEBEM。若以B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系。(1)若折痕l所在直线的斜率为k，试写出折痕l所在直线的方程；(2)求动点M的轨迹方程。CC'DB'BEA分析:利用翻折对称性质折痕l与BB垂直求解(1)利用翻折中的不变量结合向量求解(2)解析:(1)当k=0时，此时点B与点A（B）重合，折痕l所在直线的方程为y=1;当k≠0时,将正方形翻折后点B落在边AD上的点B(x0,2),显然直线l斜率存在，故不妨设直线l方程为y=kx+b,所以B与点B关于折痕l所在直线对称，有kBB=21200xkxk,x0=-2k,故点B的坐标为B(-2k,2),从而折痕l所在直线与BB的交点坐标(线段BB的中点)为(-k,1)所以折痕l所在直线方程为y-1=k(x+k)即y=kx+1+k2.(3)法一:设M(x,y),由(1)知E（0，1+420x），由于BEEBEM(x,y-b)=(0,-b)+(x0,2-b)byxx20,代入b=1+420x即得y=-42x+1,又0≤x≤2,所以动点M的轨迹方程为y=-42x+1(0≤x≤2)法二:因为EB=EB,BEEBEM，由向量加法的平行四边形法则知EBMB为菱形，所以BM=BM且BM⊥AD，则x2+y2=(2-y)2,化简得y=-42x+1(0≤x≤2)。评注;本题主要考查翻折对称性质在解析几何中的应用以及应用向量求轨迹方程举例3如图，在直角三角形ABC中，B=900，AB=1，BC=3。点M,N分别在边AB和AC上(M点和B点不重合)，将AMN沿MN翻折，AMN变成AMN，使顶点A落在边BC上(A点和B点不重合)，设AMN=。θCA'BNMA(1)用表示线段AM的长度，并写出的取值范围；(2)求线段AN长度的最小值。分析:利用翻折对称性质找出等量关系(那些量变那些不变)解三角形建立函数求解。解析:设MA=MA=x,则MB=1-x.在RtMBA中,cos(1800-2)=xx1,所以MA=x=2sin212cos11，因为点M在线段AB上，M点和B点不重合，A点和B点不重合cos2=01xx,所以450900.(2)在AMN中，ANM=1800-600-=1200-，sinAN=0120sinAM，AN=02sin21120sinsin=0120sinsin21。令t=2sinsin(1200-)=2sin(21sin+23cos)=Sin2+3sincos=21+23Sin2-21cos2=21+Sin(2-300)。因为450900，所以6002-3001500.当且仅当2-300=900，=600时，t有最大值23，所以=600时，AN=AN=t1有最小值32。评注;本题主要考查翻折对称性质在解三角形中的应用以及三角函数，三角恒等变换的应用，在求最值过程中要注意自变量范围的确定。举例4已知矩形纸片ABCD中，AB=6cm，AD=12cm，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的两端点M,N分别位于边AB、BC上，设MNB=,MN=l。(1)试将l表示成的函数；(2)求l的最小值。NMPBCDA解析:（1）如图，APM=900-2，则MB=lsin，AM=l×sinsin(900-2)，由题设:lsin+l×sinsin(900-2)=6，得l=290sinsinsin62，即l=2cossinsin6，04，l=2cossin3设:sin=t，u=sincos2=t(1-t2)=t-t3,231tu,令231tu=0,得33t当0t33时，u0，当t33时u0，所以当33t，u取得最大值:33-31×33=932，所以l的最小值为3/932=239。举例5如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于O，且OB=OD=1,OA=3,OC=3,沿BD将ABD翻折成A1BD，使平面A1BD⊥平面BCD。点P,Q分别在BC、CD上，沿PQ将CPQ翻折,能使点C与点A1重合，点F为PQ与AC的交点。A1ODFQMCPBA(1)求证:直线PQ⊥平面A1OF;(2)(2)求面A1BP与面A1OF所成二面角的余弦值。(1)证明:连接A1C,取A1C的中点M，连接PM,QM.因为CPQ≌A1PQ,则A1P=CP,A1Q=CQ.从而PM⊥A1C,QM⊥A1C,所以A1C⊥平面PQM，则有PQ⊥A1C.因为平面A1BD⊥平面BCD，且A1O⊥BD,则A1O⊥平面BCD，从而A1O⊥PQ。因为A1C与A1O是平面A1OF内的两条相交直线，所以直线PQ⊥平面A1OF。(2)因为COF且OF平面A1OF，所以C平面A1OF。同理C平面A1BP，于是A1C为平面A1BP与平面A1OF的交线。过点O在平面A1OF内作ON⊥A1C于N，连接BN。因为BO⊥A1O且BO⊥OC，则BO⊥平面A1OF。又A1C平面A1OF，则BO⊥A1C.因为A1C⊥ON，所以A1C⊥平面BON，从而A1C⊥BN，于是BNO即所求二面角的平面角。在RtA1OC中，由勾股定理可得A1C=23，由等面积法可求得ON=23。在RtBNO中，由勾股定理可得BN=213于是cosBNO=13133,故面A1BP与面A1OF所成二面角的余弦值为13133。评注;本题主要考查空间点、线、面的位置关系以及二面角的求解，同时考查空间想象能力和推理论证、运算求解能力。解题中要注意平面图形翻折为空间图形过程中一些量及位置关系那些变，那些不变。总结:平面图形的折叠问题是近几年高考和各类模拟题中涌现出的一类新题型，在解答这类问题时，应注意以下几点:1.一般先要做出折叠前后的图形形状及位置，然后再利用轴对称性质和全等变换的相关知识进行解题。2.在平面直角坐标系中，善于将几何图形的位置和大小由“数”来表示。3.解决平面图形的折叠问题时还应消除如下困惑:一是折叠后立体图形的几何形状模糊不清；二是折叠后图形中的特征元素、特征量之间的关系理不顺；三是折叠线找不准等等。湖南省武陵源一中高飞(高级教师)邮编：427400电话：[phone]