时滞非线性动力学

时滞非线性动力学已有充分的证据表明，时滞系统普遍存在于自然和工程实际中，它的普遍性在于时滞的普遍性。从自然界到人类社会、从自然科学、工程技术到社会科学，时间滞后(delay，timedelay,lag,简称时滞)现象无处不在。无论何种时滞系统，随时间的演化不仅依赖于系统当前的状态，而且依赖于系统过去某一段时间的状态。换句话说，系统过去某一段时间的状态对系统目前状态的影响存在一个时间上的滞后(时滞)系统中的时滞可以被归结为下列情况之一或几种情况的组合：(1)系统变量的测量；(2)系统中的物理和化学性质；(3)信号传送(传送时滞)。于是，一个非常直观并且容易理解的问题被提出来，即时滞或时滞长短是否会影响系统的动力学行为呢？另一方面，在几乎所有的受控系统中，特别是对于一个人系统，由于传输和测量的时间滞后，是否会对系统的群体动力学行为产生本质的影响?因此，深入研究含时滞的力学系统的动力学特性不仅对认识这些系统本身具有重要的意义，也会对生物、生态、神经网络、物理学、电子与信息科学、机械工程、燃烧动力学、化学工程和经济等研究领域的研究起到促进作用。基于上述动机，本文针对与力学有关一些研究领域，对1999年以后时滞系统动力学的研究进展进行分类综述，总结了其中的研究方法。针对研究中出现的问题，对时滞非线性动力学今后几年的发展方向提出了建议和展望，同时指出了在理论上急需解决的一些科学问题。对1999年以前的研究动态，可以参看文献。时滞动力系统的特点和处理方法与用映射和微分方程所描述的动力系统相比，时滞动力系统的运动不仅依赖于当前的系统状态，而几与过去」段时间的系统状态有关：决定系统行为的初始状态不再是系统在零时刻的状态，而依赖于零时刻之前某一时间段或者若干时间段的系统状态,这样的时间段称为“时滞”。时滞动力系统的数学模型是时滞微分方程,它是一类泛函微分方程,这类方程有其明显的特点：一方面，初值空间是全体连续函数泛函空间,以往的微分方程理论已经不适用；另方面，由于时滞的出现,系统在平衡点附近的线性近似系统的特征方程就由一般的有限次多项式代数方程变为超越方程，特征根也由有限个变为无限多个，解空间也成为无限维。对于时滞动力系统，即使是最简单的情形，其动力学也可能非常复杂。例如，线性时滞动力系统的特征方程是含有指数函数的超越方程，即使是一阶时滞动力系统,其特征方程也可能有一对纯虚根、两对纯虚根、甚至吏多对纯虚根.相应的非线性时滞系统可以发生Hopf分岔、Hopf-Hopf分岔、Hopf-Hopf-Hopf分岔等等，在这些Hopf分岔相互作用下的系统运动可能极为复杂.又如,在无时滞情况下，一些简单非线性振动系统(如无外激励的Duffing振子)的动力学行为并不复杂，但只要对Dudffing振子实施状态反馈控制,控制过程中的时滞就会使振子产生非常复杂的动力学行为，如出现多个周期运动共存、周期运动与拟周期运动共存、混沌运动等现象。时滞微分方程的特点使得对时滞动力系统研究难度大大增加，以往工程界通常采用忽略时滞的影响来简化问题，从20世纪90年代起，国内外工程界和学术界开始更加关注对时滞系统的研究，根据时滞系统的特点和所研究的问题，国内外学者主要采用以下一些方法。时滞动力系统的Hopf分岔分析方法时滞动力系统的Hopf分岔问题是时滞系统研究的主要问题之一，包括Hopf分岔条件、分岔的方向、分岔周期解求解及其稳定性等。研究方法有:(l)中心流形定理和规范形理论：该方法是一种经典方法,由于有着严密的数学基础,一直受到数学家的青睐,方法不但可以得到分岔点领域内解的分类动力学拓扑性质,而且可以得到近似周期解的解析形式。然而，方法要求研究人员有相当好的数学基础知识，在工程应用研究领域内受到一定限制。（2）离散Lyapunov泛函和不变流形理论：该方法是Chen在研究时滞Hopfield人工网络模型时提出的,用以求Hopf分岔产生的锁相周期解的极小不稳定性(minimalinstability)和不稳定集。方法基于经典的Lyapunov泛函方法,通过结合稳定流形、不稳定流形理论，拓展了经典Lyapunov泛函的应用范围。（3）弧长路径跟踪算法(path-following)：该方法是数值计算技巧方面的，将弧长作为参数，利用其连续性，并结合对周期运动的稳定性判定，可以有效的获取分岔图,确认通向混沌的道路。方法于1999年前已经被广泛应用于非线性动力学的研究,而Raghothama等于2002年将方法改进后,推广到时滞动力学的研究中。（4）特征函数方法(describingfunction):方法是Ucar针对纯量时滞方程于2003年提出的,主要是利用系统的势能,类似于求线性系统的传递函数那样,得到非线性时滞项的特征函数,以便利用Nyquist判剧用以研究分岔周期解的存在性和特征,预测其振幅和频率.方法继承了传递函数法的优点,然而,方法对高维时滞系统的推广有相当的难度,原因在于很难找到特征函数。(5)多尺度法和IHB(inerementalharmonicbalance)方法:这两种方法都是经典的方法,共同的优点在于无需进行烦琐的中心流形约化。但是，方法有其明显的缺陷.多尺度方法应用的前提必须是弱非线性，而且分岔参数的变化只能限制在分岔点的某个领域内。而IHB方法需要解一组非线性代数方程，能否得到解强烈依赖于初始迭代值的选取，在实际应用中这样的选取完全取决于研究者的经验；此外，方法是否适用于时滞系统，至今没有严格的数学证明。(6)摄动-增量法：该方法继承了多尺度方法的优点，既无需计算中心流形和规范型，同时克服了IHB方法的缺点，该方法目前仍然处于完善阶段。通过对以时滞反馈控制为中心的控制策略、非线性因素和时滞联合作用的影响、时滞导致的多级分岔使系统呈现出复杂动力学行为和以时滞状态变量祸合为中心构成的网络系统计算模型对系统的影响等诸方面的研究，不仅可以解决这些应用研究领域内的一些重要的前沿性科学问题，而且必将开辟时滞动力学理论与这些应用研究领域一些新的研究方向，同时也可以推动非线性时滞动力学自身的发展。