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时间序列分析与动态预测第一节时间序列及相关概念一时间序列timeseries1定义同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的序列用t表示观察的时刻X表示观察值的数量则Xtt012为时间t上的观察值因此时间序列又可表示为Xtt012或2时期序列与时点序列a时期序列观察值是时间段t年季月周日等内的数据反映现象在时间段t内发展变化的总结果b时点序列观察值是时间点t年季月周日等上的数据反映现象在时间点t上的结果注意时期序列与时点序列的区别I可加性与时间的关系III资料的登记方法二时间序列的分类a平稳序列stationaryseries基本上不存在趋势的序列序列中的各观察值基本上在某个固定的水平上波动b非平稳序列un-stationaryseries序列的变化规律存在趋势性trendaname=baidusnap0/a季节/B性seasonality周期性cyclity第二节时间序列的对比分析一发展水平与平均发展水平水平时间序列中的每一项观察值体现了客观现象发展变化在各个不同时间上所达到的状态规模或水平期初发展水平时间序列中的第一个位置上的发展水平记为x1期末发展水平时间序列中的最后一个位置上的发展水平xn中间发展水平时间序列中的首尾两个位置以外的其余位置上的发展水平即x2x2xn-1基期水平作为对比分析基础的观察值水平报告期水平作为被比较对象的观察值水平注意基期与报告期的关系平均发展水平客观现象在各个时间上达到的发展水平的平均数平均发展水平的计算1时期序列平均发展水平简单算术平均若时间序列为x1x2xn则2时点序列平均发展水平a若时间间隔以日天计则公式141有效b若时间间隔大于日且各时间点的间隔距离相等则c若时间间隔大于日且各时间点的间隔距离不相等则例143某地区2000年人口数单位万人如下计算该地区2000年的平均人口数二增长量与平均增长量增长量时间序列中不同时期发展水平的差反映了客观现象在观察期内增加或减少的绝对数量即增长量报告期水平-基期水平144逐期增长量ttXt1-Xt145基期水平都选择为报告期的前一期水平累积增长量ststXt-X1146基期水平都选择为最初或某一固定时期的水平逐期增长量与累积量的关系st12st123st1234st123n例144销售额变化的增长量平均增长量观察期内各时期增长量的平均数主要用于反映现象在观察在观察内平均增减变化的情况即三发展速度与平均发展速度发展速度时间序列中两个时期发展水平的比值反映了客观现象在观察期内变化的快慢即例146计算人均收入的发展速度四增长速度与平均增长速度增长速度增长量与基期水平的比值用于反映现象发展变化的相对程度计算方法为例148计算人均收入的发展速度第三节时间序列的分解与假定模型时间序列的构成要素长期趋势成分T季节/B性或季节/B变动成分S周期性或循环波动成分C随机性或不规则性成分I资料来源《中国统计年鉴2001》北京中国统计出版社2001长期趋势成分T季节/B性或季节/B变动成分S时间序列的假定模型第四节长期趋势的测定与预测要点a对时间序列进行平滑以描述序列的趋势b对时间序列进行短期预测长期趋势的测定的意义1现象运动发展和变化的基本态势2现象受到某些基本的决定性因素的影响3测定长期趋势并从序列中分解出趋势性成分后有利于研究季节/B变动循环变动和不规则变动一长期趋势的测定1时距扩大法测定时间序列长期趋势一种比较简单的方法把原来的时间序列中的各个时间上的观察值加以合并得到较长时间上的观察值从而强化较长时距上的趋势特征表1411商品出口额简单移动平均法simpleMA将最近的k期数据的平均值作为下一期的预测值设移动的间隔为k1kt则t期的移动平均为例对表中数据进行2期3期4期和5期光滑处理例1412一自行车生产厂家过去十年的自行车销售量时间序列如下表单位千辆试用最小二乘法建立趋势直线方程并求出趋势值二趋势预测1移动平均MA预测以时间序列中k个时期的观察值的平均数直接作为下一个时期的现象的估计值即汽油销售量数据图及平滑数据图如果已经获得时间序列的趋势直线方程则可将直线方程中的时间项用所欲预测的时间值替代即可计算出相应的预测值参见P399例1413用SPSS演示计算方法通过对预测误差的分析达到两个目的1确定预测结果的可用性2判断所用分析方法与模型的合理性预测误差实际观察值与预测估计值之间的离差即Dt绝对值的算术平均值即Dt的平方的算术平均值即MSD的算术平方根即第五节季节/B变动的测定与分析一季节/B性分析测定季节/B性因素是为了确定现象过去的季节/B变化规律以作为当前活动的依据同时测定季节/B变动也是为了消除时间序列中的季节/B因素以便于分析其他构成因素的影响一季节/B指数seasonalindex季节/B指数刻画了现象在一个年度内各月或季的典型数量特征月份数据12个指数季度数据4个指数季节/B分析的原理与方法在乘法模型中季节/B指数以其平均数等于100为条件构成的反映了某一月份季度的数值占全年平均数值的大小如果现象的发展没有明显的季节/B变动则各期的季节/B指数等于100反之则各期的季节/B指数大于或小于100季节/B动的程度是根据各季节/B指数与其平均数100的偏差程度来测定例下表是一家啤酒企业1997-2002年各季度的啤酒销售量数据试计算各季的季节/B指数二分离季节/B性因素用各实际观察值分别除以相应的季节/B指数将季节/B性因素从时间序列中分离出去即2移动平均法movingaverageMA加权移动平均weightedMA102819971083199611711995124119941147199310641992103419911031199011801989118819881073198710651986CPI年份10941165118611511082104310821133114711093期MA105611271206119411061049103311061184113110692期MA1131116111561122106910771108111811274期MA113411411131110310911099110111075期MA901201501986198819901992199419961998CPI2期MA3期MA4期MA5期MA注意利用移动平均法对时间序列处理后的新序列项数将减少若时间序列较平稳时用移动平均法进行修匀和预测的效果较好其中关键步骤是移动步长k的选择3半数平均法假定时间序列的观察值为Xtt12n分成两部份4最小二乘法时间序列的观察值与其估计值的离差的平方和最小即设令其中314286297315275239219255229216销售量10987654321年份解首选利用散点图观察变化规律图146自行车销售量曲线2645合计31410286929783157275623952194255322922161Xtt04535251505-05-15-25-35-45t–t314303292281270259248237226215趋势值Xt907502227575258125757505751275682523751242521825t-tXt-X82502025122562522502502522562512252025t-t20495215325505105-255-455-095-355-485Xt-X因此拟合趋势直线方程为趋势值的预测值列在表格的最后一列221520221830161823192117销售量192020181819202119－－－三期预测121110987654321时间2指数平滑法exponentialsmoothing预测进而221520221830161823192117Xt121110987654321t表1418汽油销售量的指数平滑0218519419218518618318819018017817－Xt汽油销售量三期简单MA三期加权MA平滑数据10152025123456789101112133利用趋势直线预测预测误差主要类型平均绝对差MAD均方误差MSD均方根误差RMSD相对平均误差MAPD三预测误差1平均绝对误差计算汽油销售量的三期简单MA预测的误差则其平均绝对误差为合计19221220191511201920101820229182018819182072018166211918519202342119319212171简单预测三期MA汽油销售量周0350401-4-34预测误差24350401434误差绝对值2均方误差计算汽油销售量的三期简单MA预测的误差则其均方误差为合计19221220191511201920101820229182018819182072018166211918519202342119319212171简单预测三期MA汽油销售量周0350401-4-34预测误差929250160116916误差平方3均方根误差计算汽油销售量的三期简单MA预测的误差则其均方根误差为4相对平均误差计算汽油销售量的三期简单MA预测的误差则其均方根误差为合计19221220191511201920101820229182018819182072018166211918519202342119319212171简单预测三期MA汽油销售量周0350401-4-34预测误差12921136433330001818000500250016671739预测误差比4154433120023855422920013751393020003550392919993042383019982637322519974321季度年份199919981997年份299139102501133512430844273386230512644373332222511销售量时间t季度38503825370035003475350034003275312530004期MA38500383753762536000348753487534500333753200030625－－CMA090911302910365080560860212043110214089890812512082－－比值XCMA20022001200031211432225423341244382045519342182291713716451153391423013142254150417541504100407539753900392538753850－－41875416254162541250408754025039375391253900038625－－10269074470912913333102750720509397130351000007767合计0744707205077670805608989－1季度－－－126902002－0912913333102752001－0939713035100002000－0909113029103651999－0860212043110141998－0812512062－1997432年份各季节/B指数计算表－44344635225192439464合计40000890212752104247922季节/B指数39851886912704103857893平均西南民族大学经济学院毛瑞华统计学西南民族大学经济学院毛瑞华统计学XnX1X0观察值Xtn10时间t例141计算每周汽油的平均销售量221520221830161823192117销售量121110987654321周例142计算36月该企业的平均职工人数1420146015001400销售量6月30日5月31日4月30日3月31日时间6410月1日62616365人口数12月31日7月1日3月1日1月1日统计时点499199355444035销售额1994199219911990年份595145逐期增长量1492