时间序列分析第五章

第五章非平稳序列的随机分析非平稳时间序列确定性分析优点：原理简单，操作简便，易于解释缺点：只能提取教强劲的确定性信息，对随机信息浪费严重；把所有序列都归为四大因素的综合影响，无法提供明确有效的方法判断各因素之间的关系拟合精度不够理想非平稳时间序列随机分析弥补确定性分析的不足，提供更为精准的分析工具本章结构差分运算1.ARIMA模型2.Auto-Regressive模型3.异方差的性质4.方差齐性变换5.条件异方差模型6.5.1差分运算差分运算的实质差分方式的选择过差分差分运算的实质差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息0111(1)(1)(1)--d=+=-=+dddiittdtiidiidtdtitittttttxBxCxxCxxxxxxxx它的实质就是一个阶自回归过程例如一阶差分tx（一阶自回归产生的随机误差）Cramer分解定理（1961）Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性(趋势)信息tttx确定性影响随机性影响taB)(djjjt0差分方式的选择序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息例5.1【例1.1】1964年——1999年中国纱年产量（附录1.2）序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算差分前后时序图考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用差分后序列时序图1tttxxx例5.2尝试提取1950年——1999年北京市民用车辆拥有量序列的确定性信息(附录1.12)差分后序列时序图一阶差分二阶差分例5.3差分运算提取1962年1月——1975年12月平均每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息（附录1.13）差分后序列时序图一阶差分1阶－12步差分过差分足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息但过度的差分会造成有用信息的浪费例5.4假设序列如下考察一阶差分后序列和二阶差分序列的平稳性与方差ttatx10比较一阶差分平稳方差小二阶差分（过差分）平稳方差大111tttttaaxxx21122ttttttaaaxxx212)()(tttaaVarxVar22126)2()(ttttaaaVarxVar本章结构差分运算1.ARIMA模型2.Auto-Regressive模型3.异方差的性质4.方差齐性变换5.条件异方差模型6.5.2ARIMA模型ARIMA模型结构ARIMA模型性质ARIMA模型建模ARIMA模型预测疏系数模型季节模型ARIMA模型结构使用场合差分平稳序列拟合模型结构tsExtsEVarEBxBtsstttttd,0,0)(,)(0)()()(2，ARIMA模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=randomwalkmodel随机游走模型(randomwalk)模型结构模型产生典故KarlPearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？tsExtsEVarExxtsstttttt,0,0)(,)(0)(21，ARIMA模型的平稳性ARIMA(p,d,q)模型共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在单位圆上。所以当时ARIMA(p,d,q)模型非平稳。特别地ARIMA(0,d,0)模型例5.5ARIMA(0,1,0)时序图0d11()()()(1),1;1,2,,(1)()-dttpiiipittiBxBBBipBBxBd方程表示为（1）-ttBxd（1）ARIMA模型的方差齐性时，原序列方差非齐性d阶差分后，差分后序列方差齐性0d111011(0,1,0)ttttttttARIMAxxxx模型2(0,1,0)()()ttARIMAVarxVar模型,一阶差分后2011()()tttVarxVarxtARIMA模型建模步骤获得观察值序列平稳性检验差分运算YN白噪声检验Y分析结束N拟合ARMA模型例5.6对1952年——1988年中国农业实际国民收入指数序列建模（附录1.14）一阶差分序列时序图一阶差分后序列白噪声检验延迟阶数统计量P值615.330.01781218.330.10601824.660.13442一阶差分序列自相关图一阶截尾拟合ARMA模型偏自相关图拖尾建模定阶ARIMA(0,1,1)参数估计模型检验模型显著参数显著ttBxB)70766.01(99661.4)1(48763.56)(tVarARIMA模型预测递推公式11121122110,jjpdjpdjjjq112212212()(1)()()()()/(()(1))()(1)1dtttttttddBBxBxBBBBBBBBB原模型也可表示成其中，，，由如下等式确定ARMA（p，q）传递形式与逆转形式传递形式逆转形式10()()ttjtjjxBBG011,1,10,kkjkjkjjjGGGkjqjq其中：10()()ttjtjjBBxIx011,1,10,kkjkjkjjjIIIkjqjq其中：预测值)()(111111tltltlltltltx)(let)(ˆlxt22121)1()]([0)]([lttleVarleE原则：最小均方误差预测例5.7已知ARIMA(1,1,1)模型为且求的95％的置信区间ttBxBB)6.01()1)(8.01(5.41tx3.5tx8.0t123tx预测值等价形式计算预测值69.5)1(ˆ8.0)2(ˆ8.1)3(ˆ59.58.0)1(ˆ8.1)2(ˆ46.56.08.08.1)1(ˆ1ttttttttttxxxxxxxxx12126.08.08.1)6.01()8.08.11(tttttttxxxBxBB计算置信区间Green函数值方差95％置信区间36.18.08.12.16.08.11212896.4)1()]3([22221eVar)75.9,63.1()))3((96.1)3(ˆ,))3((96.1)3(ˆ(eVarxeVarxtt例5.6续：对中国农业实际国民收入指数序列的预测疏系数模型ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数：如果该模型中有部分自相关系数或部分移动平滑系数为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。qp,,,,,11pjj1,qkk1,疏系数模型类型如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为为非零自相关系数的阶数如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为为非零移动平均系数的阶数如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简记为),),,,((1qdppARIMAm)),,(,,(1nqqdpARIMA)),,(,),,,((11nmqqdppARIMAmpp,,1nqq,,1例5.8对1917年－1975年美国23岁妇女每万人生育率序列建模附录1.15一阶差分自相关图延迟6阶后自相关函数在0值附近波动偏自相关图延迟1阶和4阶显著大于2倍标准差利用ma（6）拟合1,2,3,6均不显著建模定阶ARIMA((1,4),1,0)D(shengyulv,1)ar(1)ar(4)参数估计模型检验模型显著参数显著ttBBxB433597.026633.011)1(tsExtsEVarEBxBtsstttttd,0,0)(,)(0)()()(2，季节模型简单季节模型乘积季节模型简单季节模型简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是加法关系简单季节模型通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常如下ttttITSxttdDBBx)()(例5.9拟合1962——1991年德国工人季度失业率序列差分平稳对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效应的影响，差分后序列的时序图如下白噪声检验延迟阶数统计量P值643.840.00011251.710.00011854.480.00012差分后序列自相关图延迟1阶到3阶，4阶到7阶衰减迅速差分后序列偏自相关图延迟1阶和4阶明显明显大于二倍标准差模型拟合定阶ARIMA((1,4),(1,4),0)Eviews命令；d(syl,1,4)ar(1)ar(4)参数估计ttBBxBB4428132.044746.011)1)(1(模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数统计量P值待估参数统计量P值62.090.71915.480.00011210.990.3584-3.410.00012t14拟合效果图乘积季节模型使用场合序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中的相关关系构造原理短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构如下tSStDSdBBBBx)()()()(例5.10:拟合1948——1981年美国女性月度失业率序列(附录1.17)差分平稳一阶、12步差分差分后序列自相关图差分后序列偏自相关图简单季节模型拟合结果延迟阶数拟合模型残差白噪声检验AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA((1,12),(1,12)值P值值P值值P值614.580.00579.50.023315.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213结果拟合模型均不显著222乘积季节模型拟合模型定阶ARIMA(1,1,1)×(0,1,1)12Eviews命令；d(syl,1,12)ar(1)ma(1)sma(12)参数估计ttBBBx)77394.01(78978.0166137.011212AR(1)-0.682895MA(1)0.565173SMA(12)-0.827297模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数统计量P值待估参数统计量P值64.500.2120-4.660.0001129.420.400223.030.00011820.580.1507-6.810.0001结果模型显著参数均显著221121乘积