昆明理工大学材料力学第十章弯曲变形

§10-1引言§10-2梁变形的基本方程§10-3用叠加法计算梁的变形§10-4梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施§10-5简单静不定梁第十章弯曲变形在梁的设计过程中，我们不仅要研究载荷引起的应力，还要研究载荷引起的弯曲变形。一、工程中的弯曲变形问题弯曲变形的计算是结构分析和设计的重要内容，计算弯曲变形是静定结构分析的基本要素，有时要校验弯曲变形是否在容许极限内。§10-1引言梁式起重机的变形钻床摇臂的变形齿轮轴的变形卡车弹簧片的变形可以较大。●变形计算的目的：（1）验算梁的刚度，确保梁在使用过程中不致发生过大的变形。（2）为超静定梁的计算打下基础。在计算超静定梁的反力和内力时，除利用静力平衡条件外，还必须考虑梁的位移条件，根据变形协调条件建立补充方程。这样，位移的计算是求解超静定梁时必然会遇到的问题。那么，怎么样来度量梁的弯曲变形?二、梁的变形位移——挠度及转角变形后的轴线称作挠曲线—AB′挠度：横截面形心在垂直于轴线方向的位移，用w表示（y、f、v）。→wc转角：横截面绕中性轴转过的角度，用表示。讨论：①AB是轴线，就是中性层，既不伸长也不缩短，变形后C点在x方向也有位移，但在小变形条件下，挠曲线是一条很平坦的曲线，x方向的位移相对挠度很小，所以略去不计。挠度w就是轴线上x的函数挠曲线方程)x(fw讨论：②据平面截面假设：梁变形后，横截面仍保持为平面并与挠曲线正交，作Cˊ点的切线，则此切线与x轴的夹角就等于C截面的转角。小变形时，梁的挠曲线为一条很平坦的曲线，θ角很小，故：wdxdwtanwdxdwtanw(在上图所示坐标系中)●挠度及转角正负号规定:①挠度:向上为正，向下为负；②转角:逆时针转为正，顺时针转为负。w纯弯曲时，挠曲线的曲率方程为：一、挠曲线近似微分方程MMMMzEIM1§10-2梁变形的基本方程横力弯曲时，挠曲线的曲率方程为：弹性力学分析得：zEIxMx)()(1（略去了剪力的影响）232221)(1dxdwdxwdxw(x)数学推导：若有一方程w=f(x)，则此曲线方程的曲率方程为：zEIxMx)()(1232221)(1dxdwdxwdxwdxwddxdwdxwdx22232221)(1)030(rad.dxdw小于很小小变形时，极小，略去不计。相比，在分母上，与21dxdw)(xfw(x)wzEIM(xdxwdw)22这里正负号根据挠度w的方向而定：称为挠曲线近似微分方程。略去了剪力的影响不计略去了2dxdw(x)wzEIxMdxwdw)(22zEIxMdxwdw)(2200dd22M,xw00dd22M,xw在选定的坐标系中，挠曲线微分方程的最终形式为zEIxMdxwdw)(22w对方程积分一次可得：这里C和D是积分常数，可由梁的边界条件确定。挠曲线方程转角方程对于等截面梁,微分方程可写为:两次积分可得二、用积分法求弯曲变形)(22xMdxwdEIwEIzzCdxxMdxdwEIwEIzz)(DCxdxdxxMwEIz)(■梁的边界条件：①支承条件AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~0A△--弹簧变形wA=0wA=0wA=Δ■梁的边界条件：②连续光滑条件0右左AAww右左AA右左AAww右左AAww右左AA讨论：)()(xqdxxdFS)()(22xqdxxMd)()(xFdxxdMS)(xMwEIz挠曲线近似微分方程对方程求导：)()(xFdxxdMwEISz再求导：)()()(22)4(xqdxxdFdxxMdwEISz例1.求梁的挠度和转角方程，并计算B、wB及wl/2。①求支反力解：（坐标原点只能放在左端）x11)0()()(lxmFlFxmxlFxM由1-1右侧：③列挠曲线近似微分方程②列弯矩方程)(mFlFxxMwEIzmFlFxwEIzlABFmzEIx11lABFmzEI④积分mFlFxwEIz(1)22CmxFlxxFEIwEIzz(2)226223DCxxmxFlxFwEIz⑤确定积分常数(边界条件:固定端约束)000AAwx，时，当21）式得（）代入（、00DC，x11lABFmzEI⑥确定转角和挠度方程21）式得（）代入（、00DC，(3)212mxFlxxFEIwz(4)2261223xmxFlxFEIwzx11lABFmzEI(3)212mxFlxxFEIz(4)2261223xmxFlxFEIwz⑦计算B、wB及wl/2。(4)(3)方程得代把入lx212mlFlEIzB23123mlFlEIwzB42）方程得代入（把/lx84851232mlFlEIwz/l例2.求梁的挠度和转角方程，并计算max及wmax。解：①求支反力00bFlFmAB00aFlFmBAFlaFBFlbFAACBlbaFzEIFlbFAFlaFBx11x22②列弯矩方程AC段BC段)0()(111axxlbFxM)()()(2222lxaaxFxlbFxM③列挠曲线近似微分方程)(111xlbFxMwEIz11xlbFwEIz)()(2222axFxlbFxMwEIz)(222axFxlbFwEIzACBlbaFFlbFAFlaFB④积分11xlbFwEIz)(222axFxlbFwEIz(1)21211CxlbFwEIz(2))(22222222CaxFxlbFwEIz(3)6111311DxCxlbFwEIz(4))(6622232322DxCaxFxlbFwEIzx11x22ACBlbaFFlbFAFlaFB(1)21211CxlbFwEIz(2))(22222222CaxFxlbFwEIz(3)6111311DxCxlbFwEIz(4))6622232322DxCa(xFxlbFwEIz⑤确定积分常数边界条件：①支承条件②连续光滑条件0011Awx时，当022Bwlx时，当212121ccccwwaxx时，当4321）式得）（）（）（代入（021DD)(62221bllbFCCx11x22ACBlbaF021，DD)(62221bllbFCC⑥确定转角和挠度方程4321）式得）（）（）（代入（)1()3(6222111xbllEIbFwz)2()(3)3(622222222axblxbllEIbFwz)3()3(63121211xxbxllEIbFwz)4()()3(632222222axblxxbllEIbFwzx11x22ACBlbaF⑦计算max分析：应在′=0的位置来求求的极值00w即0)M(xwEIz从弯矩图可知A、B截面的弯矩为0∴A、B截面的有极值，则max在A截面或者B截面ab，max应在B截面22maxwlx的方程即可求出代入把x11x22ACBlbaFMFlab⑧计算wmax类似分析：应在w′=0的位置来求求w的极值00即w从挠曲线上可知：CBA,∴=0的截面应在AC段上01得，令w3220blxx11x22ACBlbaF10maxwwx方程即可求出代入●结论：在简支梁上，若挠曲线无拐点，则最大挠度wmax可用中点处的挠度值来代替。x11x22ACBlbaF求wmax211maxwwlx方程即可求出代入把m思考：根据连续性和边界限制条件，画出近似挠曲线。以下各图中哪个是正确的?√√√用积分法求梁的变形：优点：可以求得挠度和转角的普遍方程式缺点：列弯矩方程，求积分常数比较麻繁§10-3用叠加法计算梁的变形x11lABFmzEI用积分法求得挠度和转角方程212mxFlxxFEIz2261223xmxFlxFEIwz从方程可看出挠度和转角与载荷是成线性齐次关系∴可用叠加原理求梁的变形●叠加原则：当梁上同时作用几个载荷时，如果梁的变形很小，且应力不超过比列极限，则梁上任一横截面的总位移即等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和。lABFmzEIlABmlABFmFl/2ABl/2CFqqmzEIzBEIml22zBEImlw63zBzAEImlEIml162zCEImlw22zBEIFl33zBEIFlw162zBAEIFl483zCEIFlw63zBEIql84zBEIqlw243zBAEIql38454zCEIqlw●注意：①除最后一个分子系数为5以外，其它均为1；②分母是抗弯刚度乘以一个系数；③载荷：m、F、q均为一次方；④梁的长度l的方次wm12F23q34①分成单个载荷作用的梁；②画出单个载荷作用下的梁的挠曲线；③命名单个载荷作用下引起的、w；④计算。●叠加法的步骤：lABFmzEI例3.求梁B截面的转角B及挠度wB。①分成m和F单独作用的梁；解：②画单个载荷作用下的挠曲线；AmAF③命名、w；1Bw2Bw1B④计算。2B④计算。1zBEIml221zBEImlw222zBEIFl332zBEIFlw2221zzBBBEIFlEIml323221zzBBBEIFlEImlAm1Bw1BAF2Bw2B例5.求梁B截面的转角B及挠度wB。CB解：①画挠曲线；②命名、w；③计算。AFCBBw1Bw2BwBCwAFl/2CBl/2zEI解：①画挠曲线；②命名、w；③计算。82222zzCBEIFlEIlF2432331zzCBEIFlEIlFww16282322zzBBEIFllEIFllw485162433321zzzBBBEIFlEIFlEIFlCBAFCBBw1Bw2BwBCwqaAB2aCzEI例6.求梁B截面的转角B及挠度wB。刚化法：整根梁的变形等于梁分为几段单独产生变形之和。(一个力作用时才考虑）分析：①刚化AC段；qABC1Bw1B②刚化BC段；qABC①刚化AC段；②刚化BC段；qABC2Bw2BABCqa221qaABC221qa2CqABC1Bw1B①刚化AC段；③计算。②刚化BC段；631zBEIqa841zBEIqawqABC1Bw1Ba2a2Bw2BqaABC221qa2Ca2a解：3322133222zzzCBEIqaEIaqaEIml334322zzBBEIqaaEIqaawqABC1Bw1Ba2a2Bw2BqaABC221qa2Ca2a24113844421zzzBBBEIqaEIqaEIqa23633321zzzBBBEIqaEIqaEIqa3BlBAaCqm例7.求梁B截面的转角B及挠度wB。BACmBACq1Bw1B1CBACmBACm2Bw2B3Bw3C321BBBB321BBBB11CB33CB33awBB11awBBqlA