昆明理工大学第8章数学模型

计算机仿真技术数学建模数学模型：是系统某种特征本质的模拟，即用数学公式、数学符号、程序、图形等对实际问题的本质属性的抽象而又简洁的刻画。是用来描述所研究的客观对象或系统中某一方面的规律。它或能解释某些客观现象，或能预测未来发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略。建模方法：系统模型的建立是系统仿真的基础，而建立系统模型是以系统之间的相似性原理为基础的。1.数学模型的建立方法：机理分析法（演绎法）：它是根据所遵循的数学规律，直接写出系统中各个变量之间的相互关系的数学结构。测试分析法（系统辩识，归纳法）：采用该方法是因为对系统的结构和特性不了解，只能通过试验来辨别出来，通过对系统的输入/输出的测试数据来建立系统的数学模型，即对大量数据的分析、总结和归纳。混合法：演绎法+归纳法：演绎法确定模型结构，归纳法定参数。建模方法机理分析法试验测试法封闭矢量法拉格朗日方程法D-H法Kane法频率响应法卡尔曼滤波法机电传动系统建模方法牛顿定律、能量守恒、牛顿-欧拉法、动量定理、达郎伯原理等2.建模的原则如果要评价一个模型的好坏，一般遵循以下原则：⑴精确性：相似度⑵合理性：同一系统可建不同模型，关键是对研究问题有利⑶复杂性：在满足精度的前提下，越简单越好。⑷应用性：遵循输入、输出量是可以测量的原则。⑸鲁棒性：适应的工况范围宽。3建模步骤模型准备：了解问题背景，明确建模目的要求，收集资料。模型假设：对问题作出必要合理的假设，使问题突出主要特征，忽略次要方面。模型构成：根据事物间联系及因果等关系等，依据所遵循的定律，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题。模型求解：数值计算法、数理统计法、优化方法、图论方法等模型分析：对所得到的解答进行分析，注意结果是否稳定。模型检验：分析结果，与实际情况比较，看是否符合实际。模型应用：按建立模型所用的数学方法：初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划模型等。按模型的表现分：静态模型和动态模型；确定性模型和随机模型；线性和非线性模型；连续和离散模型。你碰到过的数学模型——“航行问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解航行问题建立数学模型的基本步骤•作出简化假设（船速、水速为常数）；•用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；•用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；•求解得到数学解答（x=20,y=5）；•回答原问题（船速每小时20千米/小时）。机电系统建模方法（机理分析）步骤：1.确定输入量、输出量；2.按信号传递顺序写各环节动态微分方程；3.消除中间变量；4.整理。)()()()()()(01110010110txbdttxdbdttxdbtxadttxdadttxdaimimmmimmnnnnnn复杂机电系统建模方法（机理分析法）例1建立RC电路运动方程和弹簧阻尼系统运动方程。(t))(dt(t)duRC122utu(t))(dt(t)dxkc00ixtxxix0机械系统数学模型的建立22)()()()(dttxdmdttdxctkxtf例2如图所示的机械振动系统。在外力F的作用下，根据牛顿第二定律，系统微分方程可以写成为)()()()(2sXmsscsXskXsFkcsmssFsX21)()(机械系统数学模型的建立例3设弹簧-质量-阻尼组成的简单的机械平移系统如图所示，列出以F为输入，以质量的位移y为输出的运动方程式。根据牛顿第二定律可得:22dtydmmaF则系统的方程为:kydtdycFFFFdtydmkf22上式经整理，可得系统的微分方程为:Fkydtdycdtydm22kcsmssFsY21传递函数:右图所示为电枢控制直流电动机，要求取电枢电压Ua(t)为输入量，电动机转速ω为输出量，列写微分方程。图中R、L分别是电枢电路的电阻和电感，ML是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。Ea为电枢两端反电势，M为电机电磁力矩,J为转动部分折合到电机轴上的总转动惯量。例4aaaaEtRidttdiLtU)()()()(tikMamLMMdttdJ)(克希荷夫得电枢回路电压平衡方程：dakE楞次定律得电枢反电势：安培定律得电磁转矩方程：牛顿定律得转矩平衡方程：LmdLmdadmddMkkRdtdMkkLukdtdkkRJdtdkkLJm122消中间变量得：函数记录仪方框图复杂系统的数学模型反馈口：放大器：电动机：减速器：绳轮：电桥：rmmmmmuTKKKKKLTKKKKKLTL432143211消去中间变量可得：LKuKLKuKTuKuuuupmmmmmpr423321例7X-Y记录仪机电传动系统概述机电传动系统的一般结构和功能机械系统数学模型的建立有三种阻止运动的力：惯性力、弹簧力和阻尼力。22)()()()(dttxdmdttdvmtmatFm（2）弹簧力：对于线性弹簧来说，弹簧被拉伸或压缩时，弹簧的变形量与所受的力成正比，数学模型为)()(tkxtFk（1）惯性力：根据牛顿第二定律，惯性力等于质量乘以加速度，数学模型为（3）阻尼力：当力较大质量块获得较大速度时，不能忽略空气阻尼力的影响。在粘性摩擦系统中，阻尼力与速度v成正比，数学模型为dttdxctcvtFc)()()(典型传动机构的动力学模型1.定轴传动机构的模型机电传动系统建模方法1212MtKttsKss)()()()(20)0()0(sJssTtJtT)()()()()()(210)0(21ssBssTttBtT2.齿轮传动机构的模型（1）：刚性传动轴情况21e1122JJnJ21e1122BBnB0e120MnMieeeMMBJ01111iiiiiTTBJ12TTBJLLLLLLiLii//iTT12齿轮传动机构的模型（2）：弹性传动轴情况2422nKnnzzMMKJMKJMKJKMJi322323323424434323321212221111////)(,)()(),()()(1212322KJnJ)()(2422442nKnnJn3.丝杠螺母传动机构的模型惯性负载的等效转换：转换前后系统所具有的动能不变。Je=mL(L0/2)22iieie2ddddttJTtBttiieeTsssJsBiLL20机电传动系统建模方法——机构的数学建模4.同步齿形带传动机构的模型主动轮半径：ri从动轮半径：rL齿形带弹性变形：Δl=riirLL对主动轮和从动轮分别列写微分方程，并化简。()MtiomJLJKB2002()()()iimidddJMtBKdtdtdt20002()()iLidddJBKdtdtdt对输入轴列方程:对输出轴列方程:200()()[()()]LiJssBsKss20()()()[()()]miiJssMsBsKss拉氏变换()MtiomJLJKB022()()()()mLmLmLsBsKJJMsJJssBsKJJ基本物理量的折算在建立机械系统数学模型的过程中，经常会遇到基本物理量的折算问题，在此结合数控机床进给系统，介绍建模中的基本物理量的折算问题。数控机床进给系统如图2-3所示。电动机通过两级减速齿轮z1、z2、z3、z4及丝杠螺母机构驱动工作台做直线运动。图2-3数控机床进给系统图2-3中，J1为轴I部件和电动机转子构成的转动惯量；J2、J3为分别为轴II、III部件的转动惯量；k1、k2、k3分别为轴I、II、III的扭转刚度系数；k为丝杠螺母副的轴向刚度系数；m为工作台质量；c为工作台导轨粘性阻尼系数；T1、T2、T3分别为轴的输入转矩。将轴I、II、III上的转动惯量和工作台的转动惯量都折算到轴I上，作为系统总转动惯量。设T’1、T’2、T’3分别为轴I、II、III的负载转矩，1、2、3分别为轴I、II、III的角速度，v为工作台的运动速度。(1)轴I、II、III转动惯量的折算根据动力平衡原理，'1111TJT1.转动惯量的折算'2222TJT对于轴I有：对于轴II有：由于轴II的输入转矩是从轴I上的负载转矩获得的，且与他们的转速成反比，所以有'1122TzzT1212zz又由传动关系知'2222TJT将上三式联立得：'22112212'1TzzzzJT'3333TJT对于轴III有根据力学原理和传动关系，整理得：'3431243213'2TzzzzzzJT121432433zzzzzz'2433TzzT(2)工作台质量的折算根据动力平衡关系：丝杠转动一周所做的功等于工作台前进一个导程时其惯性力所做的功，对于工作台和丝杠有，式中L——丝杠导程。根据传动关系有：LvmT2'314231322zzzzLLv将上两式联立得：142312'32mzzzzLT(3)折算到轴I上的总转动惯量142312'3'3431243213'2'22112212'12mzzzzLTTzzzzzzJTTzzzzJT'1111TJT112242312423132212112JLzzzzmzzzzJzzJJT式中JΣ——系统折算到轴I上的总转动惯量。224231242313221212LzzzzmzzzzJzzJJJ其中，第二项为轴II转动惯量折算到轴I上的当量转动惯量；第三项为轴III转动惯量折算到轴I上的当量转动惯量；第四项为工作台质量折算到轴I上的当量转动惯量。当工作台匀速转动时，轴Ⅲ的驱动转矩T3完全用来克服粘滞阻尼力的消耗。考虑到其他各环节的摩擦损失比工作台导轨的摩擦损失小得多，故只计工作台导轨的粘性阻尼系数C，其它忽略。2.粘性阻尼系数的折算131423TzzzzT214231Lzzzzv即丝杠旋转一周T3所做的功，等于工作台前进一个导程时其阻尼力所做的功。根据力学原理和传动关系有将以上三式联立，并整理得根据工作台与丝杠之间的动力平衡关系有:LvcT231122423112ccLzzzzTcLzzzzc2242312式中c’——工作台导轨折算到轴I上的粘性阻尼系数机械系统中各元件在工作时受到力和/或力矩的作用，将产生伸长（或压缩）和/或扭转等弹性变形，这些变形将影响整个系统的精度和动态性能。在机械系统的数学建模中，需要将其折算成相应的当量扭转刚度系数和/或线性刚度系数。在本例中，首