浅析重积分在变量变换问题中的应用

皖西学院本科毕业论文（设计）第1页浅析变量变换在重积分计算问题中的应用作者：谢健指导教师:岳芹摘要：由于重积分计算时有可能有多种解法也有的重积分在用一般解题方法时很困难，本文通过对重积分的学习而利用新的解题思路，通过变量变换来解决实际上所遇到的重积分问题，利用此简单的方法来解决复杂的重积分问题。关键词：重积分变量变换二重积分三重积分AnalysisofvariabletransformationinthecalculationofthedoubleintegralAbstract:Re-integrationcalculationsmayhavemultiplesolutions,somedoubleintegralintheuseofgeneralproblem-solvingapproachisverydifficult，Doubleintegrallearningnewproblem-solvingideas，Actuallyencounteredbyvariabletransformationtosolvethedoubleintegral，Takeadvantageofthiseasywaytosolvethecomplexdoubleintegral.Keywords:Integral,Variabletransformation,Doubleintegral,TripleIntegral1引言重积分在数学分析中占有比较重要的地位，是数学分析中重要的一部分，也是数学分析学习的难点之一，由于重积分的题型十分多，因而方法灵活，技巧性强且解题对于学习者来说是十分困难的。由于重积分的解法可分为多种情况。比如：利用对称性计算重积分，利用换元法计算重积分，利用分部积分法计算重积分等等。而本选题则是学习关于利用变量变换计算重积分。在所找的文献中，有关于重积分的基本定义以及利用变量变换来计算重积分的技巧，并对这种技巧有很好的总结。但是这些还远远不够的，理论的东西和实际的应用还存在着很大的差距。理论研究后，在应用于生产实际中时，还会出现许多新的问题，这时考虑的问题就和理论是不一样了。仅仅研究理论时，对待某些问题，我们还需要更加深入得去了解。因此，重积分计算式变量变换的技巧还有待我们更深入的去研究。2基本概念2.1二重积分的定义设f（x¸y）是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数。J是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D的任何分割T，当它的细度‖T‖δ时，属于T的所有积分和都有1(,)niiiifJ皖西学院本科毕业论文（设计）第1页则称f（x¸y）在D上可积，数J称为函数f（x¸y）在D上的二重积分，记作(,)DJfxyd其中f（x¸y）称为二重积分的被积函数，x，y称为积分变量，D称为积分区域。2.2二重积分的性质：（1）若f（x¸y）在区域D上可积，k为常数，则kf（x¸y）在D上也可积，且(,)(,)DDkfxydfxyd（2）若f（x¸y），g（x，y）在D上可积，则f（x¸y）g（x，y）在D上也可积，且[(,)(,)](,)(,)DDDfxygxydfxydgxyd（3）若f（x¸y）在1D与2D无公共内点，则f（x¸y）在1D∪2D上可积，且12(,)fxydDD=12(,)(,)fxydfxydDD（4）若f（x¸y）与g（x，y）在D上可积，f（x¸y）≤g（x，y），（x，y）ϵD则(,)(,)DDfxydgxyd（5）若f（x¸y）在D上可积，则函数(,)fxy在D上可积，且(,)(,)DDfxydgxyd（6）若f（x¸y）在D上可积，且(,),(,)mfxyMxyD则(,)DDDmfxydMSS这里DS是积分区域D的面积（7）若f（x¸y）在有界闭区域D上连续，则存在（ξ，η）ϵD，使得(,)(?,)DDfxydfS，皖西学院本科毕业论文（设计）第1页这里DS是积分区域D的面积。2.3二重积分的变量变换公式：2.3.1定理：设f（x，y）在有界闭区域D上可积，变换T：x=x（u，v），y=y（u，v）将uv平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域∆一对一地映成xy平面上的闭区域D，函数x（u，v）,y(u，v)在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式(,)(,)0,(,)(,)xyJuvuvuv∆则(,)((,),(,))(,)DfxydxdyfxuvyuvJuvdudv证明：用曲线网把∆分成n个小区域i，在变换T作用下，区域D也相应地被分成n个小区域iD。记i及iD的面积为()iuD及()iu（i=1,2,3…,n）.由引理及二重积分中值定理，有()(,)(,)()iiiiiuDJuvdudvJuvu，其中(,)iiiuv（i=1,2，…,n）.令i=x(,)iiuv，i=y(,)iiuv，则（i，i）ϵiD（i=1,2,3…,n）.作二重积分(,)Dfxydxdy的积分和1)niiiif（，）u(D=1((,),(,))(,)()niiiiiiiifxuvyuvJuvu.皖西学院本科毕业论文（设计）第1页上式右边的和式是∆上可积f（x（u，v），y（u，v））|J(u,v)|的积分和.有由变换T的连续性可知，当区域∆的分割12:,,...,nT的细度‖T‖→0时，区域D相应的分割12:D,,...,DnTDD的细度‖DT‖也趋于零.因此得到(,)((,),(,))(,)DfxydxdyfxuvyuvJuvdudv2.3.2二重积分的变量代换公式为设f(x,y)在平面的有界闭区域D上连续且(1)连续可微函数x=x(u,v),y=y(u,v)把D双方单值地变到区域uvD(2)雅可比行列式(,)0(,)DxyJDuv在uvD上成立，则(,)xuvJdudvuvDDfxydxdyf（，）2.4用极坐标计算二重积分2.4.1当积分区域是圆域或圆域的一部分，或者被积函数的形式为22()fxy时，采用极坐标变换cos,:sin,xrTyr0,02,r（1）2.4.2结论：设f（x，y）满足定理2.3.1的条件，且在极坐标变换（1）下，xy平面上有界闭区域D与∂θ平面上区域∆对应，则成立(,)(cos,sin)Dfxydxdyfrrrdrd2.5三重积分的概念2.5.1定义：设f（x，y，z）为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V上的函数，J是一个确定的数。若对任给的正数ε，总存在某一个正数δ，使得对于V的任何分割T，只要‖T‖δ，属于分割T的所有积分和都有皖西学院本科毕业论文（设计）第1页1(,,)V,niiiiifJ则称f（x，y，z）在V上可积，数J称为函数f（x，y，z）在V上的三重积分，记作(,,)VJfxyzdV或(,,)VJfxyzdxdydz，其中f（x，y，z）称为被积函数，x，y，z称为积分变量，V称为积分区域。2.5.2性质：（1）有界闭区域V上的连续函数必可积；（2）如果有界闭区域V上的有界函数f（x，y，z）的间断点集中在有限多个零体积的曲面上，则f（x，y，z）在V上必可积。2.5.3定理若函数f（x，y，z）在长方体V=【a，b】*【c，d】*【e，h】上的三重积分存在，且对任何xϵ【a，b】，二重积分I（x）=D(,,)fxyzdydz存在，其中D=【c，d】*【e，h】，则积分D(,,)badxfxyzdydz也存在，且D(,,)(,,)baVfxyzdxdydzdxfxyzdydz（1）证明：用平行于坐标面的平面网T作分割，它把V分成有限个小长方体111,,,ijkkkiijjvyyxxzz设ijkM，ijkm分别为f（x，y，z）在ijkv上的上，下确界.对于1iixx上任一点i，在11*jkkkjjyyDzz上有皖西学院本科毕业论文（设计）第1页(,,)jkkijkkjkijjDfyzdydzyymzMz现按下标j，k相加，则有,(,,)(,,)()jkiiijkDDfyzdydzfyzdydzI及,,,,()kijkkijkiiiijjijkiijkIyymxxxzMz上述不等式两边是分割T的下和与上和.由于f（x，y，z）在V上可积，当‖T‖→0时，下和与上和具有相同的极限，所以由上式的I（x）在【a，b】上可积，且()(,,)baVIxdxfxyzdxdydz若把（1）式右边的二重积分(,,)Dfxyzdydz可化为累次积分来计算，于是我们就能把（1）式左边的三重积分化为三次积分来计算.如化为先对z，然后对y，最后对x来求积分，则为(,,)(,,)bdhaceVfxyzdxdydzdxdyfxyzdz.3变量变换在重积分问题计算中应用3.1二重积分的变量变换例1计算22222()yxedxdyyxa解作变换cosxr，sinyr，把rθ平面上的矩形'D：0ra，02变成圆域222:Dyxa，由公式得2222'22()rDyxedxdyerdrdyxa皖西学院本科毕业论文（设计）第1页=22200012()2arraderdre=2(1)ae由此可知，运用变量替换的方法可以解决一些直接用化为二次定积分的方法无法解决的问题例2设2/00()txyxtytFtedxdy，求'()Ft解作变换,xtuytv，则20(,)0(,)txyJttuv且变换把区域*0:0xtDyt，变成*01:01uDv故2/00txyxtytedxdy=2*/2uvDetdudv=22/00uvxtyttedudv，则'()Ft=2t2/00uvxtytedudv=2()Ftt此题巧妙的利用变量变换很容易的求出了'()Ft，所以利用换元法可以给解题带来很大方便.例3求()Dxydxdy其中区域D为坐标轴和抛物线1xy所围成的区域.解作变换4cosxrt，4sinyt则(,)(,)xxxyrtJyyrtrt4343cos4cossinsin4sincostrtttrtt=35534sincos4sincosrttrtt=334sincosrtt皖西学院本科毕业论文（设计）第1页1xy变换后r=1，即r=1，坐标轴0x，0y，即0r，2t，0t故()Dxydxdy=JDrdrdt=1233004sincosdtrrttdr=423302sincos5tt=232082sin(1sin)sin515ttdt通过变换后很容易进行积分，积分限很容易安排.例4求椭圆体2222221yxzabc的体积.解由对称性，椭圆体的体积V是第一卦限部分体积的8倍，这一部分是以22221zcyxab为曲顶，22(,)01,0Dxyybxaxa为底的曲顶柱体，所以222281DVcdxdyyxab应用广义极坐标变换，由于21zcr，因此1122220000481813Vdcabrdrabcdrdrabcrr当abcR时，得到球的体积为343R3.2三重积分的变量变换皖西学院本科毕业论文（设计）第1页例5求V