浅析静电场中等势面的应用

1浅析静电场中等势面的应用蔡铁琼（北京师范大学燕化附中，北京102500）等势面是用来形象的表示电场中电势的分布情况。一般说来，静电场中各点的电势是逐点变化的，但是场中许多点的电势值是相等的。把这些电势值相等的各点连起来所构成的曲面叫做等势面。在描绘等势面时，要使任何两个相邻等势面间的电势差都相等。所以场强愈大处，等势面愈密集，场强愈小处，等势面愈稀疏。等势面和电场线结合在一起，就能非常形象地反映电场的属性和特点，使学生对看不见，摸不着的电场有一个直观的认识。如何运用等势面的特点来分析电场，在近几年高考题中也时有出现。笔者将从以下几个方面来分析等势面的运用。1借助等势面判断电场的可能情况。例1．在电场中建立如图1所示的XOY平面直角坐标系，一个正的检验电荷由A点分别沿不同的路径移动到B点和C点，在这个过程中，检验电荷都要克服电场力做功，并且做功相等。在下列所述的电场中，可能出现上述情况的是：（）A.场电荷在第四象限，是正点电荷B.场电荷在第一象限，是负点电荷C.存在匀强电场，方向沿Y轴正方向D.存在匀强电场，方向沿X轴负方向解析依题意，正电荷由A点分别沿不同的路径移动到B点和C点，电场力做功0ACABWW，则ACB，B、C两点在同一等势面上。若是点电荷形成的电场，则B、C两点处在同一球面上，场源电荷一定在BC中垂线上的某一点，所以选项B错。当场源电荷是正电荷且在第四象限时，它到A点的距离大于它到B点或C点的距离，所以A点电势小于B点和C点的电势，选项A对。若是匀强电场，则Y轴为一等势面，电场线应垂直于Y轴，又AB，所以电场线方向沿X轴负方向，选项D对。2曲线型等势面与电场线正交关系的应用例2．如图2所示，虚线表示电场中一簇等势面，相邻等势面之间电势差相等。一个α粒子以一定的初速度进入电场中，只在电场力作用下从M点运动到N点，此过程中电场力对α粒子做负功。由此可以判断()A．M点的电势高于N点的电势B．粒子在M点受到的电场力大于在N点受到的电场力C．粒子在M点的电势能小于在N点的电势能D．粒子经过M点时的速率小于在N点时的速率解析过M点的电场线应垂直于过M点的等势面，由于粒子做曲线运动，只受电场力作用，电场力要指向曲线的凹侧，所以粒子在M点所受电场力应垂直等势面向下，如图3所示。又粒子带正电，所受电场力方向与电场线方向一致，所以由上往下，电势逐渐降低，即MN，选项A错。N点处等势面较密集，所以粒子在N点受到的电场力大于在M点受到的电场力，选项B错。粒子从电势低的等势面向电势高的等势面运动，电场力做负功，电势能增加，动能减少，所以选项C对，选项D错。23匀强电场中等势面的辅助作图法。例3．（07江苏卷21题）匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，AB的长度为1m，D为AB的中点，如图4所示。已知电场线的方向平行于ΔABC所在平面，A、B、C三点的电势分别为14V、6V和2V。设场强大小为E，一电量为1×10－6C的正电荷从D点移到C点电场力所做的功为W，则（）A．W＝8×10－6J，E＞8V/mB．W＝6×10－6J，E＞6V/mC．W＝8×10－6J，E≤8V/mD．W＝6×10－6J，E≤6V/m解析匀强电场中，任意直线上，电势均匀变化，所以D点电势为10V，VUDC8，JqUWDCDC6108，选项B、D错。同理，CD中点M的电势为6V，与B点电势相等，连接BM，为一条等势线，过B点做BM的垂线即为电场线，考虑到C点电势小于B点电势，所以电场线方向向上，如图5所示。过A点做BM的平行线交电场线于N点，则VNBEUAB8，而ABNB＝1m，所以mVE8，选项A对，选项C错。4带电粒子在不同等势面间运动的能量特征。例4．图6中虚线所示为静电场中的等势面1、2、3、4，相邻等势面间的电势差相等，其中等势面3的电势为零。一个带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a、b两点时的动能分别为26eV和5eV，当这一点电荷运动到某一位置时，其电势能变为－8eV，此时它的动能应为（）A.8eVB.13eVC.20eVD.34eV解析正电荷只受电场力作用，整个运动过程中动能和电势能相互转化，总量保持不变。由a到b，动能减少了21eV，由于相邻两个等势面电势差相等，电荷经过相邻的等势面，电场力做功相等，动能减少相同的量，即7eV，所以正电荷在等势面3时的动能为12eV。又等势面3的电势为零，正电荷在该等势面处电势能也为零，所以正电荷在等势面3处的总能量为12eV，这也是整个运动过程中正电荷的总能量。所以当其电势能为－8eV时，动能应为20eV，这样，总能量才是12eV，所以选项C正确。5复合场中带电粒子沿等势面运动时的功能转换。例5．如图7所示,在O点处放置一个正电荷。在过O点的竖直平面内的A点，自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m、电荷量为q。小球落下的轨迹如图中虚线所示，它与以O为圆心、半径为R的圆（图中实线表示）相交于B、C两点，点O、C在同一水平线上，030BOC，A点距离OC的竖直高度为h。若小球通过B点的速度为v，下列说法中正确的是（）A.小球通过C点的速度大小是gh23B.小球通过C点的速度大小是gRv2C.小球由A点到C点电场力做功是mghmv221D.小球由A点到C点损失的机械能是221)2(mvRhmg解析B、C两点处于同一等势面上，正电荷从B运动到C，电场力做功为零，只有重力做功，由动能定理，222121mvmvmghcBC，又230sin0RRhBC，所以gRvvc2，选项A错，B对。正电荷从A运动到C，由动能定理，0212cmvWmgh电，求得)2(212RhmgmvW电，选项C错。由能量守恒定律，正电荷从A运动到C，减少的机械能等于增加的电势能，而增加的电势能电电WE，所以减少的机械能等于221)2(mvRhmg，选项D对。6根据等势面的分布情况分析带电粒子的运动。例6．（04北京卷21题）静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置，其中某部分静电场的分布如图8所示。虚线表示这个静电场在xoy平面内的一簇等势线，等势线形状相对于ox轴、oy轴对称。等势线的电势沿x轴正向增加，且相邻两等势线的电势差相等。一个电子经过P点（其横坐标为-x0）时，速度与ox轴平行。适当控制实验条件，使该电子通过电场区域时仅在ox轴上方运动。在通过电场区域过程中，该电子沿y方向的分速度vy随位置坐标x变化的示意图是（）解析根据等势面的情况，我们可以大致画一条电场线，如图9所示。电子在y轴左侧受到的电场力指向右下方，可以分解为水平向右的分量和竖直向下的分量。电子在y轴右侧受到的电场力指向右上方，可以分解为水平向右的分量和竖直向上的分量。所以电子在整个运动过程中，水平方向一直在加速，当在y轴右侧运动的水平位移也为x0时，其平均速度xv比在y轴左侧运动的平均速度大，运动时间也就比在y轴左侧运动时间短。竖直方向，4电子在y轴左侧运动时向下加速，在y轴右侧运动时向下减速，电子运动时的加速度ya是逐点变化的，由于越接近x轴，等势线越稀疏，电子在竖直方向的加速度ya越小，同时在y轴右侧运动时间短，所以电子在竖直方向的速度不可能减为零。综上所述，正确的选项应为D。