浅析高中数学教学中解题反思教学

浅析高中数学教学中解题反思教学【摘要】解题教学是中学数学课堂教学的重要组成部分，可以说，数学课上几乎每节课都涉及到解题教学，对数学概念、定理、公理、法则等的考查也是落实到解题上，而解题反思是提高学生数学解题能力的重要方式，也是整个数学学习过程的重要环节。根据数学解题教学现状和教学实践表明，引导反思是必要和可行的。那么，在我们摒弃了“题海”战术，大力倡导“以学生为中心”的主体性教学时，就更应该注意解题教学的艺术，从而收到“事半功倍”的效果。【关键词】高中数学;解题教学;反思能力;思维发展1数学反思的基本内涵“顾名思义”,“思”是指“心”上有块“田”，那么，“反思”就是指“田上有颗“心”。不断地“反思”就是指在“心田”上长出更多的“心”。这样，“心心之火就会燃为燎原之势，创新的实质就是要不断地创“心”（反思）。“扪心自问”、“反求诸己”,这些耳熟能详的成语都反映了古人的“反思”意识。费赖登塔尔教授指出“反思是数学思维活动的核心和动力”，“通过反思才能使现实世界数学化”。波利亚说，“如果没有了反思，他们就遗漏了解题中一个重要而且有效的阶段，通过回顾完整的解答，重新斟酌、审查结果及导致结果的途径，他们能够巩固知识，并培养他们的解题能力”。曹才翰先生认为“培养学生对学习过程进行反思的习惯，提高学生的思维自我评价水平，这是提高学习效率、培养数学能力的行之有效的方法”。《普通高中数学课程标准》则把“反思”这一教学理念提到了应有的高度：“人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历„„反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断”。“评价应关注学生能否不断反思自己的数学学习过程，并改进学习方法”。标准的这一提出,要求学生在平时学习中有学后反思的意识及能力。而这恰是我们所要提倡和引导的。解题反思能力是对解题活动的反思，主要包括对题意理解的反思、试题涉及知识点的反思、解题思路形成的反思、解题规律的反思、解题结果表述的反思及解题失误的反思。从一个新的角度多层次、多方面地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析和思考，从而深化对问题的理解、优化思维过程、揭示问题本质、探索一般规律、沟通新旧知识间的迁移、深化对知识的理解。2培养解题反思能力的重要性数学教学的一个很重要的任务，就是教学生如何解数学题，教会学生“数学地思维”。学数学，就要解数学题，数学解题学习对学生巩固知识、培养素质、发展能力都有极其重要的意义。学生数学解题能力并非通过传授获得的，而是通过培养而逐步发展的。它是一项复杂的系统工程。我认为在要求学生解题时，应鼓励学生自我探索，发现规律，不断鼓励学生对讲评内容，尤其是自己出错的知识点进行“二次思维”。加深学生对该知识的印象，避免重蹈覆辙。因此，学生在解题中要具备反思的能力和养成反思的习惯，经常进行自我诊断和反思，引导学生反思是有效提高解题效率的重要措施。3培养解题反思能力的途径目前数学教学最薄弱的正是数学的反思性学习这一环节，而它又是数学学习活动中的最要的环节，由于数学对象的抽象性，数学活动的探索性，数学推理的严谨性和数学语言的特殊性，决定了高中生必须要经过多次反复思考，深入研究，自我调整，即坚持反思性数学学习，才可能洞察数学活动的本质特征。笔者在新教材的教学实践中觉得有以下途径可以实施反思。3.1尝试错误，反思纠正现代心理学表明：好奇心、求知欲和创造力是紧密相连的。笔者在平时的解题教学过程中，采用正误对比,设置陷阱的方法，引导学生参与，让他们自己发现暴露出的问题，诱发学生的好奇心，引导学生去反思问题的根源，看清问题的实质，寻求解决问题的方法。案例1：试计算：limn32222321nn同学甲：先除下来，再拆成和的形式就行了。即：原式=limn321n+limn232n+limn32nn=0+0+0=0这一回答并没有引起任何争议，大家表现的很平静，问题似乎圆满的完成了，平静的湖面没有泛起一点涟漪，此时，我突然提出“既然甲同学先除再求和，要是先求和再除，结果一样吗？”看到同学一个个很狐疑,很快同学乙回答道:原式=limn3)12)(1(61nnnn=limn)12)(11(61nn=31一石激起千层浪,大家发现上述两个同学的解法中,甲同学用的是“和的极限等于极限的和”的运算法则，而乙同学是对已知数列进行求和再求极限，似乎都没什么问题，但结果不同,说明两种解法中至少有一种解法是错误的，这一对比势必引起学生的好奇，反思，认识上产生了巨大落差,经过一番激烈讨论后,很自然地探寻得出法则的实质。3.2挖掘内涵，反思发现爱因斯坦说过“发现一个问题比解决一个问题更重要”通过挖掘题目内涵找出新问题。案例2：[数列例题]一个等差数列的第6项是5，第3项和第8项的和也是5，求这个等差数列前9项的和?此题要学生解出答案并不难，若仅仅解出答案，则学生的能力没有得到提高，我在讲评时，点击思维，引导学生进入反思。师：“这里的数字5重要吗？”，“S9=0的根本原因是什么？”经过思考，学生甲：“5”并不重要，重要的是“阿a6=a3+a8”，S9=0根本原因是a5=0.于是学生联想到等差数列的性质，有如下巧解:因65836aaaaa,得05a所以0992)(5919aaaS.师：“能推广吗？”很快地，不少学生便独立地给出了下面的简单推广：na为等差数列，若pmnaaa则01)(2pnmS，,,mnpN.为了让学生对知识有一个横向的反思,再问:“等比数列有类似的结论吗?”基础好一点的学生便能得出:na为等比数列，nT为其前n的积,若pmnaaa,,mnpN,则11)(2pnmT.通过以上教学,由特殊到一般,由等差数列到等比数列,由单一到综合,一步一步引导学生进行反思、交叉、汇合,提供了学生思维发展的良好素材,同时也培养了学生的解题反思能力.3.3展示常规,反思本质在平时解题教学中,对例题,习题,作业的学习应引导学生深入探究,展示通性,通法,从建构学的角度可以使学生做一个题,明白一类题,抓住一串题,培养学生的解题反思能力,达到举一反三目的.案例3：（1）设点A，B的坐标分别为（－5,0），（5,0）。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是49，求点M的轨迹方程。（2）设点A，B的坐标分别为（－5,0），（5,0）。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是49，求点M的轨迹方程。学生很容易求出轨迹方程,若教师点评到此为止,则失去了课本两题的典型性和示范性,其实老师可将本例加以改造,展示试题通性、通法,从而培养学生的反思能力。改为1：:动点M到两点A(a,0)和B(-a,0)连线的斜率的乘积为定值k(k0),求动点M的轨迹?解：设动点M的坐标为(x,y)，则AMyKxa,BMyKxa所以222ykxa即22221xyaka(ax)有：①当k-1时,点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且以AB为其短轴（A,B两点除外，下同不予重复）②当k=-1时,点M的轨迹为以AB为直径的圆③当-1k0时,点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且以A,B为其长轴④当k0时,点M的轨迹为焦点在X轴上的双曲线，且以AB为其实轴改为2：:动点M到两点A(0，a)和B(0，-a),（a0）的连线斜率的乘积为定值k(k0),求点M的轨迹?改为3：:动点M到两点A(m,t)和B(n,t)的连线斜率的乘积为定值k(k0),求点M的轨迹?通过对习题的归类、改造，揭示两题的本质，展示通性、通法，培养学生的反思能力，使学生的解题能力得到螺旋式上升。这样的反思有助于思维合理化、精确化、概括化。3.4设计变式,反思归纳变式思维的认识依据是事物间有相似性，进行变式的训练，使学生参与到教学中，能使学生抓住知识的联系与区别，促使学生进行思考，总结，激发学习动力。解题教学中若能改变原题的结构或其他方面，往往可使一题变一串，有利于开阔眼界，拓展思路，提高应变能力，防止定势思维的负面影响，并要思考与该题同类的问题，进行对比，分析其解法，找出解答这一类题的技巧和方法。解题后要把解题中所联系到的基础知识与各知识有机地“串联”成知识线，“并联”成知识网，有利于提高分析和归纳的思维能力。案例4：某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中，恰好8次击中目标的概率？分析：为了使学生深入理解，使学生处理这类独立重复试验问题不进入程式化硬套公式，我进行以下变式教学，引起学生反思，使学生对知识的深度有更细更好的理解。变一：某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求此人射击6次中3次命中且恰有2次连续命中目标的概率？变二：某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求此人射击6次中3次命中且不连续命中目标的概率？分析：这是附带条件的独立重复试验问题，三题比较，反思本质，总结独立重复试验概率公式P（n=k）中，n次独立重复试验中这个事件恰好发生哪k次呢？它有几种可能的情况，由以上变式，使学生能通过反思，理解，在解决这类概率问题时，要注意k次有无限制条件，切忌硬套公式。通过以上一系列的变式题组,可以通过反思,进行分析归纳汇总,有哪些同类型的问题?常见的有哪些形式?应分别采用哪些不同的处理方法?注意的关键点又是什么?3.5引导多解,反思角度我们在提问、举例、讲评数学问题时，要倡导一题多解，一题多变，多题一解的训练，并根据所教对象和内容的特点，精心创设一个符合学生认知规律，激发学生求知欲的由浅入深、多层次、多变化的问题情境，启发探索，诱导反思，养成多角度分析数学问题的习惯。案例5：当ｘ＝１时，二次函数f(x)有最小值１；若把f(x)的图象向下移动3个单位，此时函数的图象与ｘ轴相交，并截得ｘ轴上一段线段长为４个单位；求函数f(x)的解析式。首先让学生认识到图象移动前后所对应的两个函数f(x)、g(x)之间的关系为f(x)＝g(x)+3。其次引导学生具体分析函数g(x)所满足的三个条件，并从中探索解题的方法。方法一，如果三个条件理解为图象过三点(1,-2)，(-1,0)，(3,0)，由y＝g(x)＝ax2+bx+c，求出a，b，c；方法二，如果理解为图象是抛物线，其顶点是(1,-2)，且过点(-1,0)，由y＝g(x)＝a(x-1)2-2，求出a。方法三，如果理解为方程g(x)＝0的两个根为-1，3，且函数y=g(x)的图像过点(1,-2)，由y=g(x)＝a(x+1)(x-3)，求出a。最后可解得f(x)=0.5x2-x+1.5。从二次函数g(x)解析式的三种形式入手，引导学生理解与掌握待定系数法这一数学方法，而不停留在单纯的解题上。在解题训练时要求学生不能仅满足于一种解法，鼓励他们进一步思考其他解法。通过讨论与交流，从中鉴别各种方法的作用与最佳方法，并通过各种方法引导学生认识解题的核心问题与共同本质。我有时宁可让学生少做些题，但要求用两种甚至两种以上的方法做好某些题。通过此法，教学生反思，培养学生思维的广阔性，让学生善于从不同角度，不同方面去思考问题，寻求变异。3.6鼓励质疑,反思批判思维的批判性指思维活动中独立分析的程度，是否善于严格地估计思维材料和仔细地检查思维过程。我在数学教学中，鼓励学生提出不同的甚至怀疑的意见，注意引导和启发，提倡独立思考能力的培养。案例6：三角作业:⊿ABC中，53sinA，135cosB，求Ccos发现大部分学生如此解：由53sinA可得54cosA；由135cosB可得1312sinB，进而可求6516cosC或6556cosC。在作业讲评中,先把上述解法拿出来展示,显然大家都认为错了,但不知错在何处?那好,检验不如计算,用计算器分别验算两组A,B,C的大小,几分钟后,不少同学开始恍然,但还没大悟,既然有增根,非得用计算器,能用估算法来判断吗?继续讨论,有个别同学开始面露微笑,一学生提出观点：由2253sinA可知：443AA或，同理可知4B。由