二次函数与角度问题

1二次函数专题一：角度一、有关角相等1、已知抛物线2yaxbxc的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点(0C，3)，过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D，抛物线的顶点为M，直线5yx经过D、M两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）连接AM、AC、BC，试比较MAB和ACB的大小，并说明你的理由.思路点拨：对于第（1）问，需要注意的是CD和x轴平行（过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D）对于第（2）问，比较角的大小a、如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小，那么他们之间的大小关系就清楚了b、如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角，那么大小关系就确定了c、如果稍难一点，这两个角转化成某个三角形的两个内角，根据大边对大角来判断角的大小d、除了上述情况外，那只有可能两个角相等，那么证明角相等的方法我们学过什么呢，全等三角形、相似三角形和简单三角函数，从这个题来看，很明显没有全等三角形，剩下的就是相似三角形和简单三角函数了，其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的，都是对应边的比相等e、可能还有人会问，这么想我不习惯，太复杂了，那么我再说一个最简单的方法，如何快速的找出题目的结论问题，在本题中，需要用到的点只有M、C、A、B这四个点，而这四个点的坐标是很容易求出来的，那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来，再用量角器去量这两个角大大小，你就能得出结论了，得出结论以后你再看d这一条解：（1）∵CD∥x轴且点C（0，3），∴设点D的坐标为(x，3)．∵直线y=x+5经过D点，∴3=x+5．∴x=－2．即点D(－2，3)．根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M（－1，y），又∵直线y=x+5经过M点，∴y=－1+5，y=4．即M（－1，4）．∴设抛物线的解析式为2(1)4yax．∵点C（0，3）在抛物线上，∴a=－1．即抛物线的解析式为223yxx．…………3分（2）作BP⊥AC于点P，MN⊥AB于点N．由（1）中抛物线223yxx可得点A（－3，0），B（1，0），∴AB=4，AO=CO=3，AC=32．∴∠PAB＝45°．∵∠ABP=45°，∴PA=PB=22．∴PC=AC－PA=2．2xy8834567217564321-10-9-1-2-4-3-5-6-7-8-8-7-6-5-3-4-2-1O在Rt△BPC中，tan∠BCP=PBPC=2．在Rt△ANM中，∵M（-1，4），∴MN=4．∴AN=2．tan∠NAM=MNAN=2．∴∠BCP＝∠NAM．即∠ACB＝∠MAB．后记：对于几何题来说，因为组成平面图形的最基本的元素就是线段和角（圆分开再说），所以几何的证明无非就是线段之间的关系，角之间的关系，在二次函数综合题里，我主张首先要想到的是利用角之间的关系来解题，其次才是利用线段之间的关系来解题，除非你很快就能看出利用线段之间的关系来解题很简单，因为在直角坐标系里要求两点之间的距离是很麻烦的，尤其是不知道某个点的确切坐标时，那么这个题给了我们一个如果判断角之间关系的基本思路2、（2012朝阳一模第24题8分）24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线23yaxbx经过点N（2,－5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.24.解：（1）∵32bxaxy过点M、N（2，－5），6MN，由题意，得M（4，5）.∴.53416,5324baba解得.2,1ba∴此抛物线的解析式为322xxy.…………………………………2分（2）设抛物线的对称轴1x交MN于点G，若△DMN为直角三角形，则32121MNGDGD.∴D1（1，2），2D（1，8）.………………………………………4分直线MD1为1xy，直线2MD为9xy.将P（x，322xx）分别代入直线MD1，32MD的解析式，得1322xxx①，9322xxx②.解①得11x，42x（舍），∴1P（1,0）.…………………………………5分解②得33x，44x（舍），∴2P（3,－12）.……………………………6分（3）设存在点Q（x，322xx），使得∠QMN=∠CNM.①若点Q在MN上方，过点Q作QH⊥MN，交MN于点H，则4tanCNMMHQH.即）（445322xxx.解得21x，42x（舍）.∴1Q（2，3）.……………………………7分②若点Q在MN下方，同理可得2Q（6，45）.…………………8分3、（2012西城一模25题8分）25．平面直角坐标系xOy中，抛物线244yaxaxac与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为(1,0)，OB=OC，抛物线的顶点为D．(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；(3)Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A，若2QBQA，求点Q的坐标和此时△QAA的面积．xyP2D2D1GMNCOP1xyHQMNCO425．解：（1）∵2244(2)yaxaxacaxc，∴抛物线的对称轴为直线2x．∵抛物线244yaxaxac与x轴交于点A、点B，点A的坐标为(1,0)，∴点B的坐标为(3,0)，OB＝3．……………1分可得该抛物线的解析式为(1)(3)yaxx．∵OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，∴OC=3，点C的坐标为(0,3)．将点C的坐标代入该解析式，解得a=1．……2分∴此抛物线的解析式为243yxx．（如图9）……………………3分（2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点1P，点1P关于x轴的对称点为点2P，点1P、点2P均为所求点.（如图10）可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x上．∵1APB、ACB都是弧AB所对的圆周角，∴ACBBAP1，且射线FE上的其它点P都不满足ACBAPB．由（1）可知∠OBC=45°，AB=2，OF=2．可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线yx上．∴点E的坐标为(2,2)E．…………………………………………………4分∴由勾股定理得5EA．∴15EPEA．∴点1P的坐标为1(2,25)P．……………………………………………5分由对称性得点2P的坐标为2(2,25)P．………………………………6分∴符合题意的点P的坐标为1(2,25)P、2(2,25)P.（3）∵点B、D的坐标分别为(3,0)B、(2,1)D，可得直线BD的解析式为3yx，直线BD与x轴所夹的锐角为45°．∵点A关于∠AQB的平分线的对称点为A，（如图11）若设AA与∠AQB的平分线的交点为M，则有QAQA，AMAM，AAQM，Q，B，A三点在一条直线上．∵2QAQB，∴.2''QBQAQBQABA作AN⊥x轴于点N．∵点Q在线段BD上，Q，B，A三点在一条直线上，∴sin451ANBA，cos451BNBA．∴点A的坐标为(4,1)A．∵点Q在线段BD上，∴设点Q的坐标为(,3)Qxx，其中23x．∵QAQA，图9xyO1DCBA5∴由勾股定理得2222(1)(3)(4)(31)xxxx．解得114x．经检验，114x在23x的范围内．∴点Q的坐标为111(,)44Q．……………………………………………7分此时1115()2(1)2244QAAAABQABAQSSSAByy．…8分二、特殊角（一）、450角1、如图，在平面直角坐标系xoy中，点P为抛物线2xy上一动点，点A的坐标为（4,2），若点P使∠AOP＝450，请求出点P的坐标。2、二次函数图象经过点A（－3,0）、B（－1,8）、C（0,6），直线232xy与y轴交于点D，点P为二次函数图象上一动点，若∠PAD＝450，求点P的坐标。3、（2009－2010海淀初三上期末）已知，抛物线cbxaxy2与x轴交于点A（－2,0）、B（8,0），与y轴交于点C（0，－4）。直线y=x+m与抛物线交于点D、E（D在E的左侧），与抛物线的对称点交于点F。（1）求抛物线的解析式；（2）当m=2时，求∠DCF的大小；（3）若在直线y=x+m下方的抛物线上存在点P，使∠DPF＝450，且满足条件的点P只有两个，则m的值为___________________.（第（3）问不要求写解答过程）解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8），∵抛物线与y轴交于点C（0，-4），∴-4=a（0+2）（0-8）．解得a=41．∴抛物线的解析式为y=41(x+2)(x-8)，即y=41x2-23x-4；（2）由（1）可得抛物线的对称轴为x=3，∵m=2，∴直线的解析式为y=x+2，∵直线y=x+2与抛物线交于点D、E，与抛物线的对称轴交于点F，6∴F、D两点的坐标分别为F（3，5），D（-2，0）．设抛物线的对称轴与x轴的交点为M，可得CM=FM=MD=5，∴F、D、C三点在以M为圆心，半径为5的圆上．∴∠DCF=21∠DMF=45°．（3）由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为G（3，-425）设F（3，3+m），则FG=m+3+425，设D关于对称轴的对称点为D1，当四边形DGD1F为正方形时，满足题意，此时P点与顶点G重合，或者与D1重合，故DD1=F′G，D点横坐标为：x=-（21F′G-3）=-8134m，纵坐标为-（21F′G-3-m）=8134m，将D点坐标抛物线解析式，解得m=-45．（二）、900角1、如图，抛物线两点轴交于与BAxbxaxy,32，与y轴交于点C，且OAOCOB3．（I）求抛物线的解析式；（II）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点CAP,,为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；（III）直线131xy交y轴于D点，E为抛物线顶点．若DBC，求,CBE的值．思路点拨：（II）问题的关键是直角，已知的是AC边，那么AC边可能为直角边，可能为斜边，当AC为斜边的时，可知P点是已AC为直径的圆与坐标轴的交点，且不能与A、C重合，明显只有O点；当AC为直角边时，又有两种情况，即A、C分别为直角顶点，这时候我们要知道无论是A或者C为直角顶点，总有一个锐角等于∠OCA（或Rt△PAC和Rt△OAC相似），利用这点就可以求出OP的长度了（III）从题目的已知条件看，除了∠ABC=45°外没有知道其他角的度数，那么这两个角要7么全是特殊角（30°，45°，60°，90°），在这种情况下，他们的差才有可能不是特殊的角，很明显，这两个角不是特殊角，那只有一种可能（在没有学反三角函数的前提下），就是他们的差是特殊角，再联系到∠ABC=45°，可知，这两个角的差就是45°，那么我们需要证明的就是∠ABD=∠CBE，再想想上一题所说的，就明白是利用相似三角形来证明了，即证明△BCE是一个直角三角形且与△BAD相似解：（I）3,032点轴交与抛物线Cybxaxy，且OAOCOB3．)0,3(,0,1BA．代入32bxaxy，得12030339abbaba322xxy（I