浅论拉格朗日中值定理在数列放缩上的应用

这篇文章大概是数月前写的，当时只给征哥看了，现在想想，还是改改发上来，因为发现很多同学其实还并不了解这种方法。真心希望大家能有所收获，当时我发现这种方法的时候着实兴奋了一把。拉格朗日中值定理：在连续可导函数fx的闭区间,ab上，必有一点ξ使得'fbfafbaξ。亦即，割线斜率必等于中间某点的切线斜率。这在图像上是很显然的。乍看上去，这个定理似与数列放缩没半点关系，其实不然。'fbfafbaξ，这不就是把一个项变成两项之差么？如果我调这个区间的长度为1，或者说令1ba，那么'1ffafaξ，这不就是裂项么？当然这里存在一个问题，这个式子只能用来裂等式，不过，我们只需借助单调性，即可使它具备这种功能。假设'fx单调递增，那么由于1aaξ，就有'''1faffaξ，取我们需要的一头，比如要做不足近似，就取''1faffafaξ。裂项成功。接下来的事情就容易多了。'1112111nififnfnfnfnfffnf。结束。拉式中值定理裂项的关键步骤是，找出na的原函数（它的上一级函数，它的积分）并判断单调性，确定选择不足或过剩近似。就拿这次期末题作例，求证11ln1nini。1fxx的原函数是lnFxx单增。所以1fxffxξ。我们要做过剩近似，取11fxfFxFxξ。即要证1ln1lnxxx。前面这些都是草稿纸上的内容，真正写的只有1ln1lnxxx，上一问还给铺垫了，有它之后累和一下，11ln1lnln2ln1ln1ninnni证毕。要注意的一点是，由于我们没学过拉格朗日中值定理，所以不能直接用。必须把裂项不等式证一下。不过即便如此，它也比定积分放缩的画图、标注、叙述简洁得多得多。比如前面那题，用裂项法三两行足够。有的同学可能会问：也许定积分可以证，而拉氏定理放缩不够紧，证不出呢？我可以确定地说，绝不会。因为定积分与裂项，看似不同，实则完全在做同样的事情，放缩尺度是完全一样的。拿刚才那道题来说，如果用定积分放缩，就大概是画个图，然后说如图怎样怎样，有1iSi，1111111lnln1nnnniiiiSdxxnix。至少结果是一样的。过程呢？我们看定积分放缩它是在干什么，也是找到原函数，确定单调性，选择不足或过剩近似。iS是一个个面积，是一个个1i，我把它们和起来再回原函数（定积分走面积）还是先回原函数再和起来（走裂项），不是完全一样的吗？所以类似的顾虑完全不必有了，凡碰到数列不等式，大可先用拉格朗日中值定理试上一试，大多数都能解决，把定积分繁琐的过程抛到一边吧！