浅谈“单位圆”在三角函数中的应用

1浅谈“单位圆”在三角函数中的应用胡海光（宝鸡文理学院数学系陕西宝鸡721013）摘要：新课程用单位圆定义任意角的三角函数，提升了单位圆、三角函数线的地位，三角函数的知识结构和方法体系也发生了一些变化，利用单位圆本身直观、形象、准确、方便等特点，再结合相关的数学知识，可以使问题化难为易，化繁为简，思路清晰，方法明确。探究它在新课程三角函数公式推导和性质中的应用及解题中的应用，这样不但能使学生掌握用单位圆解题的方法,而且能激发学生的学习兴趣。关键字：单位圆；诱导公式；三角函数；应用1.引言新课标指出：学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自习等学习数学的方式，通过各种不同形式的自主学习、探索活动，不但能让学生体验数学发现和创造的历程，培养他们的数学思维能力和创新意识，而且可以大大减少课堂的教学时间。因此，我们在教学中应充分挖掘教材的问题背景，逐渐培养学生的自主学习、自主探索等学习习惯。基于这种目的，在新课改下，我们可以将三角函数章节学习统一在单位圆与三角函数线之下，利用数形结合让学生理解知识的来龙去脉、推导过程，最主要的是使学生学会用联系的观点看三角函数，研究三角函数的定义、公式、图象与性质，明白如何用单位圆与三角函数线研究问题，动态地分析问题和解决问题。2.单位圆的认识单位圆是新课标里刚引进的新概念，学生受老教材的影响对单位圆的认识很模糊，为了让学生能很好的利用单位圆解决三角函数问题，笔者认为首先要了解单位圆的概念、为什么用单位圆上点的坐标定义三角函数及用单位圆上点的坐标定义三角函数的意义。2.1单位圆的定义所谓单位圆，就是在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆。如下图所示：a的终边P(x,y)Oxy22.2为什么用单位圆上点的坐标定义三角函数用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数有许多优点．（1）利用单位圆定义了三角函数，而且圆具有很好的对称性。（2）简单、清楚，突出三角函数最重要的性质──周期性（3）有利于构建任意角的三角函数的知识结构。“单位圆定义法”以单位圆为载体，自变量的三角函数值与x，y的意义非常直观而具体，单位圆中的三角函数线与定义有了直接联系，从而使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等．①P(x，y)在单位圆上|x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函数的值域为[－1，1]；|OP|2=1sin2+cos2=1；②对于圆心的中心对称性sin(π+)=－sin，cos(π+)=－cos；③对于x轴的轴对称性sin(－)=－sin，cos(－)=cos；④对于y轴的轴对称性sin(π－)=sin，cos(π－)=－cos；⑤对于直线y=x的轴对称性sin(－)=cos，cos(－)=sin；⑥sin在[－，]内的单调性：－0πx：－1010－1sin在[－，]上单调递增，在[，]上单调递减；……32.3用单位圆上点的坐标定义三角函数的意义用单位圆上点的坐标定义三角函数，除了考虑到使学生在三角函数学习之初就能感受到单位圆的重要性，为后续借助单位圆的直观讨论三角函数的图象与性质奠定坚实的基础外，主要还是为了这样的定义能够更好地反映三角函数的本质。3.用单位圆认识三角函数线三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(,)xy，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点T.由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段,OMxMPy，于是有sin1yyyMPr，cos1xxxOMr，tanyMPATATxOMOA．我们就分别称有向线段,,MPOMAT为正弦线、余弦线、正切线。说明：①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位oxyMTPAoxyMTPAxyoMTPAxyoMTPA（Ⅳ）（Ⅱ）（Ⅰ）（Ⅲ）4圆内，一条在单位圆外。②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值。④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。4.单位圆在公式推导和性质中的应用4.1“同角三角函数的基本关系”公式推导中的应用在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形，如2，公式推导：关系式一“1cossin22”，即OMPRT中的勾股“122OMMP”。关系式二“tancossin”，即相似三角形比式“ATOAATOMMP”。4.2在推导诱导公式中的应用单位圆具有很好的对称性，通过对单位圆上对称点的坐标的关系来探究推出诱导公式。如图5，角+α的终边与角α的终边关于原点对称，由角α的终边与单位圆的交点P1(x,y)，知角+α的终边与单位圆的交点为P2(－x,－y)，推出诱导公式（二）：sin(+α)=－sinαcos(+α)=－cosαtan(+α)=tanα如图6，角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，由角α的终边与单位圆的交点P1(x,y)，知角－α的终边与单位圆的交点为P2(x,－y)，推出诱导公式（三）：sin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanαxyOMPAT图25同理可以推导出关于y轴对称三角函数值，如图7推出诱导公式（四）：sin(－α)=sinαcos(－α)=－cosαtan(－α)=－tanα如图8，角2－α的终边与角α的终边关于直线y=x对称，角2+α的终边与角2－α的终边关于y轴对称，由角α的终边与单位圆的交点P1(x,y)，知角2－α的终边与单位圆的交点为P2(y,x)，角2+α的终边与单位圆的交点为P3(－y,x)，推出诱导公式（五）：sin(2－α)=cosαcos(2－α)=sinα诱导公式（六）：sin(2+α)=cosαcos(2+α)=－sinα64.3在两角的和与两角的差的正弦与余弦的证明过程的应用证明：Cos(α-β)=Cosα·Cosβ+Sinα·Sinβ利用单位圆的特殊性质，巧妙地简化解题的步骤4.4.在三角函数性质中的应用如下图10，将单位圆中的三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）通过平移转化为三角函数图象上的点，就可以比较精确地作出三角函数的图象；利用单位圆中的三角函数线，可以直观地从整体上把握三角函数的有关性质，包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值。75.单位圆和三角函数线在解题中的应用在高中数学中，引入了三角函数线，使三角函数具有了鲜明的几何特征。单位圆结合三角函数线，是研究三角函数一种数形结合的工具，若能恰当地利用它，往往能使问题解决显得直观、新颖，过程简捷明了，以下简要介绍它们的具体应用。5.1利用单位圆定义三角函数来求三角函数值。例1、求67的正弦、余弦和正切值。解：如图12，在直角坐标系中，作∠AOB=67，则∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为B(23，21)∴sin67=21，cos67=23，tan67=33方法总结：先求出这个角的终边与单位圆的交点坐标，再利用定义求解。5.2利用单位圆中的三角函数线解三角函数不等式数形结合的“形”不仅仅是指三角函数图象，三角函数线有时比图象能更好的解决问题．例：利用单位圆解不等式3tanα+30。解：要使3tanα+30，即要tanα－33如图14，由正切线可知k－6αk+2，k∈Z∴不等式的解集为（k－6，k+2），k∈Z5.3利用单位圆中的三角函数线求函数定义域例：求函数y=21cossinxx的定义域。解：由021cos0sinxx得21cos0sinxx8如图15，则图中阴影部分（Ⅰ）和（Ⅱ）的公共部分即为不等式组的解.∴函数的定义域为{x|2k≤x≤2k+3,k∈Z}.小提示：首先要把不等式变为基本型（最简单的三角不等式），对于三角不等式组应分别确定区域，取其公共部分5.4证明三角恒等式例5：求证：22sectan1；证明：如图16，在单位圆中作出角的正切线、余弦线，ATtan，OMcos，222221tan1OTATOAAT，又∵OMOAOPOT，∴seccos11OMOMOAOPOT，∴22sectan15.5证明三角不等式例3：求证：若为锐角，则1cossin。证明：如图5，在单位圆中，是锐角，作出角的正弦线、余弦线，||sinMPMP，||cosOMOM∵1||||||OPOMMP∴1cossin。6.小结通过以上总结单位圆在三角函数中的具体应用，让学生体验数形结合思想，进一步感受到用单位圆解题的简捷、直观、巧妙，因此，我们务必充分理解掌握单位圆的定义以及应用，为以后的学习做好铺垫.这样不但能使学生掌握用单位圆解题的方法,而且能激发学生的学习兴趣。参考文献：[1]王铁军.挖掘新课程中“单位圆与三角函数线”的教学功能[J],2007.11[2]高振球.单位圆在高一数学中的应用[J],2006.6[3]吴汝龙.三角函数线的解题功能[J],2006.6[4]普通高中课程标准实验教科书《数学》必修4[M],人民教育出版社,2004OXYMPAT图16XYO11-1-1MP图5