普朗克公式的推导

普朗克公式的推导DerivationofPlanck’slaw首先，考虑一个边长为L的正方体盒子，里面充满了电磁辐射，能够发出形成受盒子大小限制的驻波。我们假设这些波不发生干涉，所以可以被划分为在三个笛卡尔坐标系方向上。波长如下：𝜆𝑖=2𝐿𝑛𝑖（𝑛𝑖是非零自然数，i代表笛卡尔坐标系的三个维度）根据量子力学，一个给定态的能量可以用如下表示：E(n)=(N+12)ℎ𝑐2𝑙√𝑛𝑥2+𝑛𝑦2+𝑛𝑧2h代表普朗克常量，N代表这种这种态的个数，或是光子数，或是给定能量数。重要的是，不像电子，无限数量的一种态或是光子，其给定的能量是存在的。其符合玻色爱因斯坦统计。其次考虑光子气的统计力学：为了推导光子气的能量密度，我们首先需要知道在给定温度下，一种光子气的能量状态可能和哪些物理量有关。我们求助于统计力学，其揭示的公式如下：𝑃𝑁=𝑒−𝛽𝐸(𝑁)𝑍(𝛽)这里β代表的是热力学能量的倒数，即β=1𝑘𝐵𝑇,Z（β）是一个因子，被称为分割函数。其公式如下：Z(β)=∑𝑒−𝛽𝐸（𝑁）∞𝑁=0=11−𝑒−𝛽𝜀其中ε=ℎ𝑐2𝐿√𝑛𝑥2+𝑛𝑦2+𝑛𝑧2=ℎ𝑐𝜆，即单个光子的能量根据统计力学，一种给定态的平均能量（其和平均光子数有关）可表示为E(N)=−𝑑𝑙𝑛𝑍𝑑𝛽=𝜀𝑒𝛽𝜀−1光子气的能量密度：现在，我们有了给定态的平均能量的表达式，我们可以积分所有态的表达式，来寻找光子气的总能量，其可表示为：U=∫〈𝐸〉𝑔(𝜀)𝑑𝜀∞0=∫𝜀𝑒𝛽𝜀−1𝑔(𝜀)𝑑𝜀∞0g(ε)是指状态密度的函数，它给出了在单位能量间隔ε和ε+dε中，允许存在的态的个数。可表示为g(ε)dε=8𝜋𝐿3ℎ3𝑐3𝜀2𝑑𝜀所以单位体积的能量为：𝑈𝐿3=∫8𝜋ℎ3𝑐3𝜀3𝑒𝛽𝜀−1𝑑𝜀∞0被积函数是光谱能量密度，该式还可以用波长和频率表达𝑈𝐿3=∫𝑢（𝜀，𝑇）𝑑𝜀∞0=∫𝑢(𝜆,𝑇)𝑑𝜆∞0=∫𝑢(𝑣,𝑇)𝑑𝑣∞0黑体辐出度：现在假设，黑体的一侧被挖了一个小孔，所有从这个小孔辐射出的辐射波都以光速前进。而且这些辐射出的波以2π的半球立体弧度均匀分配，并且有一半能量是朝外发射的所以光谱辐出度可以被定义为单位波长的单位立体角的单位区域的辐射出的能量。U(λ，T)=12[𝑢(𝜆,𝑇)𝑐2𝜋]=2ℎ𝑐2𝜆51𝑒ℎ𝑣𝜆𝑘𝐵𝑇−1