浅谈中学二次函数解析式的求法

-姓名：朱志群题目：浅谈中学二次函数解析式的求法第1页共13页浅谈中学二次函数解析式的求法摘要二次函数是初中数学的一个重要内容之一，二次函数解析式的确定既是重点也是难点，实质上确定二次函数的解析式，就是确定函数解析式中未知数的系数，求二次函数解析式的方法很多，如：一般式、交点式、顶点式等，受文献[1]、[2]、[3]的启迪本文简单总结了常见的六种求二次函数解析式的方法，及这六种方法在初中数学中的简单应用。关键词：二次函数解析式;交点式;顶点式;平移思想;数形结合思想姓名：朱志群题目：浅谈中学二次函数解析式的求法第2页共13页ANALYSISOFAQUADRATICFUNCTIONOFSCHOOI-BASEDMETHODABSTRACTQuadraticfunctionisajuniorhighschoolmathematicsandanimportantpartofthequadraticfunctionoftheanalyticalfocusisnotonlydifficulttodetermine,inessence,todeterminetheanalyticalquadraticfunctionisdeterminedintheunknownanalyticalcoefficient,andanalyticalquadraticfunctionmanyways,suchas:generaltype,intersectiontype,top-setblocks,duetotheliteratureoftheenlightenment[1]、[2]、[3]Thisarticlebrieflysummarizesthesixkindsofcommonquadraticfunctionforanalyticalmethodsandtheirapplications.KEYWORDS:Analyticquadraticfunction;pointtype;vertextype;translationalthinking;numebershapeunionthinking-姓名：朱志群题目：浅谈中学二次函数解析式的求法第3页共13页目录摘要....................................................1ABSTRACT.................................................21引言...................................................42中学二次函数解析式的几种求法...........................42.1一般式求二次函数的解析式1............................................42.2坐标与顶点式求二次函数的解析式1......................................52.2.1已知二次函数对称轴的方程及图象上另外两点的坐标求二次函数的解析式.52.2.2已知二次函数图象上两点的坐标及顶点的纵坐标，求二次函数的解析式...62.2.3顶点式求二次函数的解析式.........................................72.3交点式求二次函数的解析式1............................................82.4对称点式析式2........................................................82.5平移法求二次函数的解析式3............................................92.6数形结合法求二次函数的解析式.......................................123总结..................................................12参考文献................................................13致谢....................................................13姓名：朱志群题目：浅谈中学二次函数解析式的求法第4页共13页1引言函数是中学数学最重要的内容之一，它的建立是数学从常量转入变量的枢纽，从数量关系反映客观世界之间的相互依存，相互制约的变化规律。而函数思想是用变量和函数之间的关系来思考问题，其本质是变量和函数之间的对应关系，它与方程的思想是不可分割的。在中学考试方面，函数部分通常把一次函数、二次函数、反比例函数、几何等综合在一起，在解决实际问题方面，常考利用二次函数的性质求面积、利润等的最大值和最小值，然而求二次函数的解析式通常是解决题目的出发点，因此探究求二次函数解析式的方法已成为重点内容之一，本文从二次函数解析式的一般形式到特殊形式依次总结出一般式、顶点式、交点式、对称点式、平移法、数形结合法六种求二次函数解析式的方法，及这六种方法在初中数学中的简单应用。2中学二次函数解析式的几种求法从二次函数的定义出发，利用二次函数图象与一元二次方程根的关系、二次函数图象在平移前后图像上对应点的坐标之间与向量的关系及二次函数的性质，本文简单谈怎样运用一般式、顶点式、交点式、对称点式、平移法、数形结合法求二次函数的解析式。2.1一般式求二次函数的解析式1求函数解析式最基本的方法是定义法，cbxaxy2(a≠0)是二次函数的一般解析式，从解析式的形式上看有三个待定系数，只要知道图像上三个点的坐标，进而将这三个点的坐标分别代入二次函数的一般解析式，即可求出二次函数的解析式。例1已知二次函数的图像经过A（-1，10），B（1，4），C（2，7）三点，求这个二次函数的解析式。解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由函数图像经过A（-1，10），-姓名：朱志群题目：浅谈中学二次函数解析式的求法第5页共13页B（1，4），C（2，7）三点，得:)3(724)2(4)1(10cbacbacba由（1）-（2）得:-2b=6即b=-3由（3）-（1）得:3a+3b=-3将b=-3代入得:a=2将a=2,b=-3代入（1）得:c=5即532cba所以，所求函数的解析式为:5322xxy.2.2坐标与顶点式求二次函数的解析式1由cbxaxy2经过配方变形可化为abacabxay44222，此时，顶点坐标为abacab44,22，对称轴为abx2，根据对称轴和顶点坐标的定义可分三种情况求二次函数的解析式。2.2.1已知二次函数对称轴的方程及图象上另外两点的坐标求二次函数的解析式将已知两点的坐标和对称轴的方程分别代人二次函数的一般式和对称轴的坐标公式即可求出二次函数的解析式。例2已知二次函数的图象与x轴交于A，B(4,0)两点,与y轴交于点C（0，8），对称轴为1x，求二次函数的解析式。姓名：朱志群题目：浅谈中学二次函数解析式的求法第6页共13页解：设二次函数的解析式为cbxaxy2，由二次函数的图象经过0,4B8,0C两点，对称轴1x，得：3122810416abccba由（3）得:42ab将（2）（4）代入（1）得：082416aa,即1a将1a代入（4）得:212b即821cba所以,所求二次函数的解析式为：822xxy.2.2.2已知二次函数图象上两点的坐标及顶点的纵坐标，求二次函数的解析式将已知两点的坐标和顶点的纵坐标坐标分别代人二次函数的一般式和顶点坐标公式即可求出二次函数的解析式。例3已知二次函数的图像与x轴交于A、B0,4两点,与y轴交于点C8,0，其顶点的纵坐标为,9y求二次函数的解析式。解：设二次函数的解析式为,2cbxaxy由二次函数的图象经过8,0,0,4CB两点，顶点的纵坐标为9y得：-姓名：朱志群题目：浅谈中学二次函数解析式的求法第7页共13页394428104162abacccba将2代入3得:442ba将4代入1得:1b或2b分别将1b和8,2cb代入1得:41a或1a即8141cba或821cba所以,所求二次函数的解析式为8412xxy或822xxy.2.2.3顶点式求二次函数的解析式已知函数图象的顶点坐标为hk,，则二次函数的解析式可以设为,2hkxay因此只要知道函数图象上任意一个点的坐标，将已知点的坐标代入所设解析式即可求出a的值,从而求出二次函数的解析式。例4已知抛物线在点1,3达到最高点，且与y轴交于点,80，求抛物线的解析式。解：根据题意知点1,3为抛物线的顶点，则可设抛物线的解析为132xay将点8,0代入得:姓名：朱志群题目：浅谈中学二次函数解析式的求法第8页共13页1a所以,所求函数的解析式为：132xy.一般地，只要知道函数图像上任意一点的坐标和顶点坐标，均可以运用以上三种方法求二次函数的解析式，然而从函数解析式的形式上看运用顶点式求解比较简便。2.3交点式求二次函数的解析式1利用二次函数图象与一元二次方程根的关系，若知道二次函数与x轴有两个交点0,,0,21xx,相当于方程02cbxax有两个不相等的实根,,21xx即212xxxxacbxax，因此二次函数可以表示为21xxxxay，此时只要知道二次函数图象上任意一点的坐标即可求出二次函数的解析式。例5已知二次函数图象与x轴交于点,0,1,0,23BA且过点10,1，求二次函数的解析式。解：设二次函数的解析式为123xxay.将点10,1代入得：2a所以,所求的函数的解析式为1232xxy即3522xxy.2.4对称点式求二次函数的解析式2若已知抛物线上的两个对称点mxmx,,,21时，抛物线的解析式可设为mxxxxay21.注：（1）当m0时,把原直角坐标系中的x轴向上平移m个单位,则在新坐标系中抛物线的解析式可设为21xxxxay,因而原坐标系下的抛物线是新坐标系下的抛物线不动,x轴向下平移m个单位,即21xxxxamy,亦即mxxxxay21.-姓名：朱志群题目：浅谈中学二次函数解析式的求法第9页共13页（2）当m0时,把原直角坐标系中x轴向下平移m个单位,则在新坐标系中抛物线的解析式可设为21xxxxay,因而原坐标系下的抛物线是新坐标系下的抛物线不动,x轴向上平移m个单位,即21xxxxamy亦即mxxxxay21.例6已知二次函数的图象经过6,2,3,1,3,1三点，求二次函数的解析式。解：因为点3,1,3,1为抛物线上关于y轴对称的两点，所以可设二次函数的解析式为311xxay.将点6,2代入得:1a所以,所求函数的解析式为：311xxy.本题根据题意可以运用一般式求二次函数的解析式，从一般式和对称点式的表达式上看运用对称点式求解比较简单、快捷，因此在做题时要注意观察任意两点坐标之间的关系。2.5平移法求二次